静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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周波数応答に複素数(虚数)が出てくるわけ その1


さて、これからなぜ周波数応答の結果が複素数になるのかを示しますが、まず、複素数とか虚数とかは一回忘れていただきます。

そしていつものはりのある点の変位について考えます。
(画面の関係で縦書きにします。絵でははりが曲がっているように見えませんが、曲がっているものとしてみてください(^^;))

fr2014-045

この点は時間と変位の関係が正弦波の形で表されることはすでに説明してきたとおりです。また、その振動数(周期)も加えている荷重と同じになることも確認してきました。

この変位を一本の数直線上を動く点で表すと、

fr2014-046

この点の数直線状の位置がわかるということは、現在のこの点の変位がわかるということです。また数直線状の位置を時間ごとに記録していけば、正弦波形のグラフが得られます。

fr2014-047


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  1. 2015/05/18(月) 21:35:54|
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それでは、なぜ周波数応答解析に複素数が出てくるのだろうか?


さて、周波数応答の最大応答と角度で表すこともできることがわかれば、大体理解したようなものなのですが、

しかしなぜわざわざ複素数を使った(数学が苦手な人には)わかりにくい結果が出てくるのでしょうか。

それは解いている運動方程式が複素数なので、結果も複素数で出したほうが間違いない、(解きやすい)ということに起因しているのではないかと思っています。

「運動方程式は、剛性マトリックス、減衰マトリックス、質量マトリックスも複素数なんて出てこないぞ、なのになぜ結果の変位が複素数になるのだ?」と思っている方もいると思います。

(実は速度や加速度も複素数の結果として出るのですが)

それは荷重を複素数で表して、運動方程式を解いているからです。

つまり、(正弦波であらわすことのできる)振動は、時間と変位の関係を

複素数で表現できる

ということなのです。

これについては、少し数学的になってしまうのですが、これがわからないと周波数応答の結果の意味を理解できないので、もう少しだけ詳しくみていきたいと思います。


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  1. 2015/05/15(金) 21:30:03|
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複素数(実数、虚数)から位相を計算する例


例えば前回の変位のy方向の応答の場合は、

fr2014-038.png

まず、最大応答を計算すると、
fr2014-039

次に位相のcosを計算すると

fr2014-040
cosθ=(3.8838×〖10〗^(-2))/(3.887354×〖10〗^(-2) )=0.99909
θ=±0.04276


位相のsinは
fr2014-042

θ=-0.04276 and 3.1842

よって
-0.04276ラジアンが(約0.00174度)が位相ということになります。
(この場合ほとんど0度ですね)

位相と最大応答、実部と虚部の関係を図示すると以下のとおりの感じでしょうか。

fr2014-044

(この図あとで重要になります…)


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  1. 2015/05/13(水) 20:35:07|
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周波数応答複素解から位相を計算する方法

以前から

周波数-最大変位のグラフを描くときに、最大変位は複素数の結果から以下の式で出してくださいと書いてきました。
fr2014-035

そして位相の計算方法ですが、位相の角度をθとして以下の式で換算できます。
fr2014-036



fr2014-037

が成り立つθを計算すればよいです。

θを計算するためには、逆sin、逆cosを使わないとできないのですが、関数電卓かExcelがあれば簡単に計算できますね。


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  1. 2015/05/11(月) 20:07:18|
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周波数応答の最大応答-位相の解と複素数解

前回まである時間の最大変位の正負は角度を使って180度遅れていることで示すことが出来ると述べてきました。

では、周波数応答解析でこの「角度」は計算出来るのでしょうか…

もちろん、求めることが出来ます。

実は、周波数応答解析の結果は

必ず

最大応答



位相(角度)

が組になって出てくるのです。

実際、昔私が使っていたNastranのバルクデータ入力では,

変位出力指定で

Displacement(Phase)=…

と指定すれば、最大応答と位相が組になって出力されます。

(今のNastranのバージョンでも変わってないと思います)

「いやいや、例えば、CalculiXではそんな出力方法はないぞ、複素数(実部と虚部)で結果が出てくるよ」、

fr2014-034


そう、CaluculiXの出力は同じ周波数(timeと書いてありますが、周波数を示します)で2回結果(上の例ではdisplacement)が出てきて、最初が複素数回の実数部、2つ目の値が虚数部になるという話をしました。

最大応答や位相の出力はありません。

でも、この複素解と最大応答や位相は変換できるのです!

次回以降、先に変換方法について書きます。その後意味的な部分を説明します。


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  1. 2015/05/08(金) 23:12:56|
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