静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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周波数応答の位相とは


ここで、一周期の長さを

360(度)

と角度で表すこととします。


何でここでいきなり

「角度」

が出てくるのかは、今は深く考えないことにしましょう。

でも波形が正弦波なのでy=sinθとすれば、0度、180度、360度でちょうど0になるので、なんかうまく計算できそうな感じがしますね。その程度の感覚で今はよいです。

で、先ほどの例の場合で

fr2014-032


正負が逆になっている状態は、180度遅れている、と表すことができます。

この周期の中の位置を表す角度のことを

「位相」

と呼びます。

また、遅れている角度のことを


「遅れ角」

とか

「位相遅れ」(「遅れ位相」ということもある)

などと呼ぶことがあります。

簡単に言ってしまえば、時間-応答のグラフを、横軸を時間から1周期分を360度した角度に置き換えた、ということです。

fr2014-033


ちなみにAの位相に比べBの位相が180度進んでいるとも見ることが出来ますが、それも正解です。

物理的にも同じ意味になるので180度の場合は進んでいる、遅れているどちらの表現でもよいです

また、角度は単位「ラジアン」で表すことの方が多いです。

よって、180度の遅れはπラジアンの遅れとも表現できます。


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  1. 2015/05/01(金) 23:09:39|
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周波数応答の最大応答-位相の解と複素数解

前回まである時間の最大変位の正負は角度を使って180度遅れていることで示すことが出来ると述べてきました。

では、周波数応答解析でこの「角度」は計算出来るのでしょうか…

もちろん、求めることが出来ます。

実は、周波数応答解析の結果は

必ず

最大応答



位相(角度)

が組になって出てくるのです。

実際、昔私が使っていたNastranのバルクデータ入力では,

変位出力指定で

Displacement(Phase)=…

と指定すれば、最大応答と位相が組になって出力されます。

(今のNastranのバージョンでも変わってないと思います)

「いやいや、例えば、CalculiXではそんな出力方法はないぞ、複素数(実部と虚部)で結果が出てくるよ」、

fr2014-034


そう、CaluculiXの出力は同じ周波数(timeと書いてありますが、周波数を示します)で2回結果(上の例ではdisplacement)が出てきて、最初が複素数回の実数部、2つ目の値が虚数部になるという話をしました。

最大応答や位相の出力はありません。

でも、この複素解と最大応答や位相は変換できるのです!

次回以降、先に変換方法について書きます。その後意味的な部分を説明します。


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  1. 2015/05/08(金) 23:12:56|
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周波数応答複素解から位相を計算する方法

以前から

周波数-最大変位のグラフを描くときに、最大変位は複素数の結果から以下の式で出してくださいと書いてきました。
fr2014-035

そして位相の計算方法ですが、位相の角度をθとして以下の式で換算できます。
fr2014-036



fr2014-037

が成り立つθを計算すればよいです。

θを計算するためには、逆sin、逆cosを使わないとできないのですが、関数電卓かExcelがあれば簡単に計算できますね。


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  1. 2015/05/11(月) 20:07:18|
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複素数(実数、虚数)から位相を計算する例


例えば前回の変位のy方向の応答の場合は、

fr2014-038.png

まず、最大応答を計算すると、
fr2014-039

次に位相のcosを計算すると

fr2014-040
cosθ=(3.8838×〖10〗^(-2))/(3.887354×〖10〗^(-2) )=0.99909
θ=±0.04276


位相のsinは
fr2014-042

θ=-0.04276 and 3.1842

よって
-0.04276ラジアンが(約0.00174度)が位相ということになります。
(この場合ほとんど0度ですね)

位相と最大応答、実部と虚部の関係を図示すると以下のとおりの感じでしょうか。

fr2014-044

(この図あとで重要になります…)


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  1. 2015/05/13(水) 20:35:07|
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それでは、なぜ周波数応答解析に複素数が出てくるのだろうか?


さて、周波数応答の最大応答と角度で表すこともできることがわかれば、大体理解したようなものなのですが、

しかしなぜわざわざ複素数を使った(数学が苦手な人には)わかりにくい結果が出てくるのでしょうか。

それは解いている運動方程式が複素数なので、結果も複素数で出したほうが間違いない、(解きやすい)ということに起因しているのではないかと思っています。

「運動方程式は、剛性マトリックス、減衰マトリックス、質量マトリックスも複素数なんて出てこないぞ、なのになぜ結果の変位が複素数になるのだ?」と思っている方もいると思います。

(実は速度や加速度も複素数の結果として出るのですが)

それは荷重を複素数で表して、運動方程式を解いているからです。

つまり、(正弦波であらわすことのできる)振動は、時間と変位の関係を

複素数で表現できる

ということなのです。

これについては、少し数学的になってしまうのですが、これがわからないと周波数応答の結果の意味を理解できないので、もう少しだけ詳しくみていきたいと思います。


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  1. 2015/05/15(金) 21:30:03|
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周波数応答に複素数(虚数)が出てくるわけ その1


さて、これからなぜ周波数応答の結果が複素数になるのかを示しますが、まず、複素数とか虚数とかは一回忘れていただきます。

そしていつものはりのある点の変位について考えます。
(画面の関係で縦書きにします。絵でははりが曲がっているように見えませんが、曲がっているものとしてみてください(^^;))

fr2014-045

この点は時間と変位の関係が正弦波の形で表されることはすでに説明してきたとおりです。また、その振動数(周期)も加えている荷重と同じになることも確認してきました。

この変位を一本の数直線上を動く点で表すと、

fr2014-046

この点の数直線状の位置がわかるということは、現在のこの点の変位がわかるということです。また数直線状の位置を時間ごとに記録していけば、正弦波形のグラフが得られます。

fr2014-047


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  1. 2015/05/18(月) 21:35:54|
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周波数応答に複素数(虚数)が出てくるわけ その2


ところで(これまた突然なのですが)、2次元のxy平面状で中心が(0,0)で半径が最大変位の円をまず描きます。

fr2014-048.png

この円周上を一定の速度で点が動いているとします。

その点をyの負の方向から光を当ててy軸が法線方向になる平面に点の影を出します。

fr2014-049

この影の動きは
なんということでしょう!(笑)

先ほど数直線で示した梁のある点の動きと同じになるではありませんか。
fr2014-050
というか、これは物理の教科書に書いてある、単振動と円運動の関係ですね

これを使えば、時間と変位が正弦波の関係で運動する点は、円運動で置き換えられる、ということになります。


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  1. 2015/05/20(水) 21:55:28|
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周波数応答に複素数(虚数)が出てくるわけ その3


前回、時間と変位の関係が正弦波形で表すことのできる運動は、円運動に置き換えられるということを述べました。

そのことさえわかれば、振動が複素数になることがわかったも同然です。

この円はxy平面状にあるとしましたが

x→実数部
y→虚数部

と置き換えてしまえば、複素数で表現できたことになります!
fr2014-053

「いやちょっと待て、そんな簡単に置き換えてよいのか? 円運動に置き換えるところまではなんとなくわかったけど、それを勝手に複素数に置き換えていいのか?。複素数といえば実数+虚数で表されるとi^2=-1とかそういうのは成り立つのか?」

と疑問に思うかもしれませんが、大丈夫です。詳しい説明は振動や物理や数学の本に譲りますが、うまく出来ているようです(笑)。


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  1. 2015/05/22(金) 22:09:05|
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周波数応答に複素数(虚数)が出てくるわけ その4


複素数というと想像しにくかったり、難しい公式とかが出てきてしまい、それだけでめまいがしそうなのですが、

振動や周波数応答の話の時には、いったんそういうことは忘れて、

振動は円運動に変換することによって

X(=実部)



Y(=虚部)

のふたつのパラメーターで表現できる、と理解しておくのがわかりやすいのではないかと思っております。

ここで、もう一度実際の梁の振動と、最大応答と位相の組、実部と虚部の組み、の関係を位相が0から180度までの区間で図示してみましょう。

(画面の関係で縦長でなってしまいました。本当は横長のほうがよいのですが…)

この関係さえ抑えておけば、周波数応答の初級編の結果は理解した、ということでよいでしょう…
fr2014-052


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  1. 2015/05/25(月) 22:11:35|
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周波数応答の実数解と虚数解の意味…


では、この実部と虚部の解の組を出すことの意義は何でしょうか。

実は周波数応答の結果を実部で表すことには意味があります。

実部は英語でrealというだけあって、実際の変位を表しいているのです。

以前説明したように、節点の位置が円運動の影だとすれば、その点の位置は、

ちょうど最大変位から位相差がずれた分の変位になるので、その位相での変位を表します。

つまり、実部の変位はある位相での解析構造物の変形状態を表すのです。
fr2014-053


応力であれば、もちろん応力状態を表します

よくやってしまうミスとして、最大変位をプロットしたものを変形図と出してしまうことがありますが、片持ち梁の1次モードのような単純な変形モードでない限りそのようの変形が実際に起こることは余りありません

実際振動している変形は、ある位相値の瞬間のものであれば、そのときの実部の値、

アニメーションを出したければ、0度→10度→20度→…のように実部の値を位相を変えてプロットすることで確認できます。

ところで、虚部のプロットは意味があるのか、と思う方がいるかもしれませんが、

実際一部のプリプロセッサーは虚部の変位の出力ができます)

今の段階では意味がない(虚ですから)と思っていただいたほうがよいでしょう。

(何か使い道はあるとは思いますが、私は現時点では使ったことがありません)

あえて言うなら。実部の値がこれから先最大応答のほうへ向かうのか、それとも0の方向へ向かうのかがわかりますが…


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  1. 2015/05/27(水) 22:13:57|
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とりあえず最終回

さて、周波数応答解析については、まだいろいろあるのですが、これ以上の説明は振動関連でよい教科書がたくさん出ているのでそちらに譲りまして、ここでいったんこのお話は終了したいと思います。

思いつきの説明で、厳密ではありませんし、その上体系的ではないのですが、教科書読んでいて行き詰まったときの参考になれば(?)幸いです。

ここでいったん区切りとさせていただきますが、次回再開するときは、もう少し体系的にまとめてみたいと思っておりますので、よろしくお願いします。
m(_ _)m


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