静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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最後は周波数応答解析と複素数の関係

それでは最後に、

「なぜ周波数応答解析で複素数(虚数)が出てくるのか」

という、ことについて考えて行きたいと思うわけですが。

でも、これ理解している人から見ると、

「そんなの複素数を使ったほうが便利だからに決まっているから」

とか

「そんな自明の理のことを説明する価値があるのか」

とか

「振動のことがぜんぜんわかっていないみたいだから、数学と物理からやり直せ」

という話になるかもしれません…

しかし、振動の本など読んでもなかなか理解しがたいし、webの記事も多くは振動の解が複素数であることを前提にしているものが多いので、ここでは

「なぜ複素数が出てくるの?」

ということが、なんとなくわかっていただければよいかな、というレベルで話を進めたいと思います。



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  1. 2015/04/03(金) 21:41:27|
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今回はABAQUS-CAE Student editionを使用します


さて今まで説明は有限要素法の構造解析のフリーソフトである

CaliculiX

を使って説明してきました。

が、今回は市販有名CAEソフトである
ABAQUS

のStudent Edition

を使用していきたいと思います…

理由はこの節では結果のグラフとアニメーションを多用する予定でいるのですが、そういったポスト処理がABAQUS-CAEがついているABAQUSのほうが楽だからです…

もちろん今後書いていくことは、現象的にはCaluculiXでも再現できることなので、興味ある方は是非確認してください。

ABAQUS student editionですが、米国のABAQUS(ダッソーシムリア)のホームページからダウンロードできるようですが、現在は学生とか教育関係者であることの確認を求めるようなことが書いてあるので、一般の人がダウンロードしてよいかは不明です。
(誰か解読してコメントください…)

しかし、ABAQUS student editionがおまけで付いてくる(?)参考書は販売されています。

http://www.amazon.co.jp/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%81%E7%B4%A0%E6%B3%95-ABAQUS-Student-Edition%E4%BB%98-DVD%E4%BB%98/dp/4621079964/ref=pd_sim_b_12?ie=UTF8&refRID=1EGX0Z0SFCTM3JA0YVKA

Amazonの書評を見ると、やはりABAQUS目当てで買っている人が多いようですね。

約1万円と参考書にしては高額ですが、1000節点限定とはいえABAQUSがプリポストつきで一通り使えるのは魅力です。

ストレスなく動かすにはそれ相応のスペックのPCが必要みたいですが、構造系CAEやっている人なら自習用には損はないと思います。

と、本の宣伝みたくなってしまいましたが(アフィリエイトやってないのでお金にならない)、本編へ進みます。

なお、ABAQUS/ABAQUS-CAEの具体的なオペレーションについては今回は述べませんが、また別の機会に紹介できればと思っています。



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  1. 2015/04/06(月) 21:42:07|
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まずは周波数応答解析の復習から


まず、周波数応答解析とはそもそもどんな解析だったかの復習をします。

解釈の仕方や説明の仕方はいろいろありますが、ここでは

(1)構造物のある点に

(2)時間と荷重の関係が正弦波の荷重をかけて、

(3)落ち着いた状態になったときの

(4)変位や応力(応答)を求めることを

(5)荷重の周波数を変えていくつか行い

(6)周波数と応答の関係を調べる。

ということにしましょう。

図に描くと以下のような感じですかね…

fr2014-019
fr2014-020

上図では便宜的に過渡応答(時刻歴)試験か解析を行ったように描いていますが、周波数応答解析は過渡応答やらなくとも落ち着いた状態の最大応答結果が一回の計算で得られます。



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  1. 2015/04/08(水) 21:46:02|
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振動が落ち着いた状態とは



以前にも説明しましたが、前回説明したように、過渡応答解析(時刻歴解析)でも基本的には周波数応答と同じ条件で解析できます。

その場合、「落ち着いた状態」になるまでの時間分計算しなければならなくなります。


減衰や境界条件の設定などによっては完全に「落ち着いた状態」にならない場合あり、

そうなると周波数応答と結果が一致するとは限らない場合もあるのですが、

固有値近くの周波数の荷重の振動与えれば、落ち着いた状態を見ることが出来ます。

実際に「過渡応答解析」をある周波数で上の条件で行ってみると、

このように最初応答は荒れますが、やがて落ち着いて、荷重の周波数と同じ周波数で振動します。



fr2014-021



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  1. 2015/04/10(金) 21:57:53|
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動解析の定常状態とは


前回示したとおり過渡応答解析では長い時間解析しなければならないのですが、

周波数応答解析では、落ち着いた状態になれば

「応答(計算結果)は荷重(入力条件)の周波数と同じになる」

ことを最初から利用して、応答の振動の周波数は入力の周波数と同じと仮定してしまいます。

そうすると、数学的に簡単に解けてしまうので(後述予定)、いちいち少しずつ時間を進めていく過渡応答解析を行わなくてもシミュレーションできてしまうのです。

イメージ的に描けば周波数応答は以下の部分を解析していることになります。

fr2014-022


ちなみに、この落ち着いた状態を定常状態といいます。

時間にかかわらず同じ状態を保っていることを仮定している静解析も定常状態の解析ですが、

一定周期で同じ状態を繰り返す状態も定常状態と呼びます。

周波数応答解析は、動解析で時間によって状態が変化するものが対象なのですが、一定周期で同じ状態を繰り返すので、定常解析でもあります。




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  1. 2015/04/13(月) 21:32:39|
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周波数応答曲線の正体とは



ところで、周波数応答解析では何を求めているのでしょうか

ひとつはピークの周波数を求めています。

周波数応答解析の結果はよく以下のような曲線グラフで表されますが、実際はひとつの周波数で応答解析を行って、それをつないで曲線グラフにしています。

fr2014-023


ではその一つ一つの応答解析は何を計算しているかというと、

最大応答

です。

特に重要なのは最大変位とか最大応力とかですね。

たいていの解析の場合、最大変位や最大応力を中心に解析の結果とする場合が多いですね。

周波数を変えてこの最大変位や最大応力を計算すればピークの周波数も求まるというわけです。



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  1. 2015/04/15(水) 21:43:01|
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周波数応答で最大応答時の変形図を描いてみる(1)



前回まで周波数応答解析の復習をしてきました。

各周波数で最大応答を求めてグラフにしたものが結果であると書きました。

しかし本当にそれだけで十分なのでしょうか?

(もしそれで十分だとした場合は、実は複素数の表現とかは不要なのですが)

実はもうひとつ、重要な結果パラメーターがあるのです。


その説明をするために、周波数応答での変形図を描くことを考えてみます。

変形図といってもある周波数での定常状態(落ち着いた状態)での振動の様子となりますが。

片持ち梁をある振動数で先端に荷重をかけて、以下のような振動をしたとします。



この場合、たとえばはりの先端で最大変位が出たときの静止画は

fr2014-024

もし、周波数応答の結果がすべての節点で最大変位であれば、周波数応答解析でも同じ絵が容易に描けますのね。

(厳密に言うとちょっと違います。でも、大体は同じになります。)



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  1. 2015/04/17(金) 21:47:59|
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周波数応答で最大応答時の変形図を描いてみる(2)


では、別の周波数の荷重をかけた場合に以下のような振動で変形をしたとします。



このような変形をした場合、はりの先端部が最大変位に達したときの変形図は以下のようになるのですが

fr2014-025


周波数応答の最大変位の結果だけ使って梁の変形図を描こうとすると、以下のようになると思います

fr2014-026


(無理矢理書いているので厳密ではないですが…)

これは正しい変形図ではないですよね…

そう、最大応答値のデータだけでは変位がYのプラス方向に最大なのか、マイナス方向に最大なのかがわからないのです。…

つまり、周波数応答解析で変形図を描くためには変位がプラスで最大なのか、マイナスで最大なのかをあらわすためのパラメーターがもうひとつ必要になってくるということです。


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  1. 2015/04/20(月) 21:58:20|
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周波数応答で正しい変形図を出すには…


さて、前回最大応答時に変位が場所(節点)によって正負反転している場合があるので、周波数応答の変形図を書くためには最大応答のデータだけでは不足であることを述べました。

つまり、最大応答以外にも結果のパラメーターが必要ということです。

プラスかマイナスかだけ示すことが出来ればよい、ということであれば、簡単なパラメーターがいくつか考えられるかもしれません。

しかしここでは次回から説明する一見ややこしい方法をとります。

ここではややこしいかもしれませんが、後を考えると、そのほうが融通が利きます。
(というか、振動で一般的な表現方法をとる、ということなのですが)


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  1. 2015/04/22(水) 22:08:53|
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振動の2点の応答の時間差をみてみる


前回の示した結果で、ちょうどプラスマイナスがお互い逆になっている点Aと点Bのz方向変位をとります。



fr2014-027

A点、 B点の時間と(y方向)変位のグラフを描いてみると、

fr2014-028

比較してみると、点Bの最大値は点Aが最大になった後、何秒後に現れるのがわかります。

つまりB点の最大値はA点比べて何秒間か遅れて出てくることになります。

fr2014-029

でも、この遅れた時間、周波数が変わると全然スケール感が変わってしまいます。例えば10秒遅れ!、といわれても、周期が1秒のときと100秒のときでは違いますので、いまひとつピンとこないですね。

fr2014-030


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  1. 2015/04/24(金) 22:12:26|
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周波数応答 2点の応答の時間差について

前回、変位の正負が逆の2つの点の時刻歴応答を確認して、最大応答値が現れる時間に差があることがわかりました。

しかし、それを時間差として表現しても直感的にわかりにくいことも考察しました。

そこでもう少し考察を続けてみると、この2つの曲線、周期が同じで、ちょうど1周期の半分、1/2周期分ずれていることがわかります。

fr2014-031


つまり、1/2周期遅れているというのは、ちょうど応答変位のプラスとマイナスが逆になるということになります。

ということは、ある節点がプラス方向で最大応答になっているとき、他の節点がどれくらい遅れているかを調べて、

遅れていなければプラス方向で最大値

1/2周期分遅れていれば、マイナス方向で最大値

ということになります。

この1周期に対してどれだけ遅れているかの情報と、最大応答値の絶対値の2つの情報が手に入れば、変形図を描くことができそうです。


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