静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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いよいよ最後の周波数応答の説明開始


道草多かったですが、最後の章は周波数応答の話です。

CalculiXでの入力方法についてはブログでも一度取り上げて、データ入力方法などについては説明してますので、以下もご参考ください。
http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-32.html

まずは、これから紹介する周波数応答解析機能ですが、またまたソフトによって呼び方が変わっています。

Nastran: 日本語では周波数応答解析、英語ではFrequency response analysis、MSC、NX、NEiとも同じ呼び方しているようです。

ABAQUS 英語:Steady-state dynamic analysis 、ベンダーの日本語訳がわかりませんが直訳すると定常動的解析。CalucliX同じ呼び方しています。

ANSYS サイバネットシステムさんの資料には日本語では周波数応答解析と書いています。昔英語でHarmonic response analysis(調和応答解析)と書いてあったような気もするのですが、今ググっても確認取れません。。。

以上どれも同じ解析手法を示しています。


あと、このブログではなるべく

”周波数”

ではなく、

”振動数”

と言う言葉を使ってきたのですが、さすがに

「振動数応答解析」

という呼び方は聞いたことがありません。

周波数と振動数という単語をごちゃ混ぜで使ってしまいますが、ここでは同じ意味ですので、読み替えてもらっても構わないです。


この周波数応答解析ってどんな解析か、静解析しかやったことない人にとっては、ちょっとわかりにくいと思います。

まずどんな結果が出てくるのか、から説明していきたいと思います。



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  1. 2013/02/03(日) 19:53:31|
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周波数応答は何を計算しているのか


周波数応答解析の結果の図ですが、マニュアルなどを見ると、結果として以下のようなグラフが得られると書いてあります。。。

ds1122


応答は加速度でも応力でも良いのですが、今回の説明では変位にします。

上に書いたようなグラフの通り、ある節点についての周波数と変位のグラフを描くことが結果となります。

(これ以外に変形図や応力コンター図とかも結果として出力できるのですが、それらの解説はちょっと後に回します)

でもこんなグラフ少し前にこのブログで描きましたよね。。。

そう、そのときは過渡応答の結果を使用して作成しました。

ds1108

このグラフどうやって描いたかというと、

モデルは以下のようなもので

ds1102
クリックすると大きくなります

以下のような結果が出てきたときの

ds1103


振動応答が安定状態になったときの、応答変位と入力した荷重の振動数をグラフにしたものでしたね。

ということは、この過渡応答解析と同じ結果を周波数応答で得られるのでしょうか。。。

答えは"Yes"です。

周波数応答はこの

「振動が安定した状態」

の挙動をシミュレーションする計算なのです。



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  1. 2013/02/04(月) 21:55:41|
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過渡応答の結果と周波数応答の周期


それではこの

「振動が安定した状態」

を計算するとはどのようなことなのか、をみてみます。

まずひとつの節点の結果のみに注目してみます。
(ここがひとつポイントなのですが、また後で詳しく解説します)

以前のモデルで2.8Hzの結果を見てみます。

ds1123

赤で囲った部分を拡大してみましょう。

ds1124

安定状態になったあとの時間-変位の波形をひとつだけ取り出しました。

どのような情報がわかれば、安定した後の波形の挙動が把握できるのかを考えて見ます。

安定した後の波形なので、振動し始めてから何秒後かは気にしないことにします。

波形がSinカーブになっていますが、時間とかける荷重の関係をSinカーブにすると,結果もSinカーブになるという性質がある(理由は振動学を勉強して下さい(^^;))ので、この波形は荷重いSin波を使ったところで自動的に決まります。

次に周期ですが、これも荷重の周期と変位の周期は同じになると言う性質があります。

荷重の振動数が2.8Hzなので周期は0.36[sec]となりますが、上記の変位もそれくらいになっているのがわかります。

よって波の形とその周期は入力が決まれば決まる(ある意味入力データ)ということになります。

最大変位だけは、わからないので解析で求めなければなりません。

よって、まず周波数応答解析では最大変位を求まらなければいけません。
(もうひとつ”位相”という重要な結果もあるのですが、またそれを後で説明します)



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  1. 2013/02/05(火) 19:29:56|
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過渡応答で解析したモデルを周波数応答解析してみる


では以前過渡応答の示した例題で周波数応答で計算してみましょう。

ds1102

クリックすると大きくなります


梁の片側を完全固定、反対側のコーナーに荷重を加えます。

ヤング率は210E+9N/m^2、ポアソン比0.3、質量密度7800kg/m^3とします。

荷重はグラフのような正弦波で時間変動し、最大の荷重振幅の大きさ2.0E+5N(片側で1.0R+5N)とします。

荷重の振動数は0.4Hzから0.4Hzごと4Hzまで計算します。

減衰は今までの例題と同じように減衰比0.03552を用います。

このモデルのシミュレーションを行い、振動数(周期)を変えたとき、結果がどう変わるかを周波数応答解析で見ていきます。



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  1. 2013/02/06(水) 19:40:55|
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周波数応答解析の入力データ

データは以下のような感じになります。

ds1125


過渡応答と比較してみます。

過渡応答のデータはhttp://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-entry-310.html

周波数応答解析はモーダル法を使っています。

周波数応答解析も過渡応答解析同様モーダル法が使えます。

モーダル法により計算が早くなるのですが、それよりそもそもCalculiXでは周波数応答はモーダル法しか使えません。



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  1. 2013/02/07(木) 21:47:18|
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周波数応答解析の荷重条件入力法

今回は周波数応答解析の荷重入力についてもう少し説明します。

わかる人には当たり前の話ですが、わからない人は周波数応答解析計算しているけど、名にやっているか今一つわかっていらっしゃらない方もいるようなので。。。

多くのCAEソフトの周波数応答解析の荷重は

-時間と荷重の関係は、正弦波波形となる
-正弦波の振動数は、解析を行う振動数と一致する
-荷重の大きさは、荷重指定コマンドで指定する


具体的にCalculiX例に見てみると、

*STEADY STATE dynamics
0.4,2.0,5,1

は0.4Hzから2Hzまで5つの振動数について計算しなさいということなので、計算する振動数(=荷重の振動数)は0.4Hz、0.8Hz、1.2Hz 、1.6Hz、2.0Hzとなります。

また、荷重の大きさは

*CLOAD
238,2,1.0e5
388,2,1.0e5

で一つの節点につき、1.0E5[N]と指定してますので、
(モデルが巨大な鉄の棒なので荷重もでかい。。。)

過渡応答的に一つの節点の荷重と時間の関係をグラフで表すと、

縦軸荷重[N]、横軸時間[sec]として

0.4Hzのとき
ds1126

0.8Hzのとき
ds1127

1.2Hzのとき
ds1128

1.6Hzのとき
ds1129

2.0Hzのとき
ds1130

便宜上0[sec]から5[sec]までのグラフを描いてますが、周波数応答解析は応答が安定した時間以降の結果を示します(理論上は∞[sec]後の周期)ので、注意して下さい。

今回の周波数応答解析の計算では上記5パターンの荷重を1度の解析で計算するということになります。



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  1. 2013/02/10(日) 17:07:02|
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モーダル周波数応答解析の結果表示

では結果を見てみましょう

.datファイルを見てみます。

まず最初に以下のように固有値解析の結果が出てきます。

これはモーダル法での計算に使ったためです。

ds1131

次にPARTCIPATION FACTORSの結果が出てきます。これもモーダル法での計算過程で出てきたものです。固有値同様振動の分析には重要な情報ですが、今回は説明は飛ばします。。。

このPARTCIPATION FACTORSの結果の後にdisplacementsの結果が出てきています。

ds1132

time 0.40000000E+00とありますが、timeではなくFrequencyなので読み替えましょう(^^;)。

でも2つ違う値が出てきてますね。これは何でしょうか。

これが変位結果の実部と虚部なのですが、説明は後回しにして、次回すべての振動数の結果を並べてみたいと思います。

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  1. 2013/02/11(月) 21:09:42|
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過渡応答と周波数応答の結果比較

では、結果を見ていきたいと思います。

今回のモデルではy方向に荷重をかけているので応答もy方向の変位が大きいです

よってy方向の変位の結果を見ていきます。

2つの変位の結果があるので、とりあえずaとbと言うことにしてみて見ましょう。

ds1133


a,bの値の結果と過渡応答の結果を比較してみます。

ds1134


aの値と過渡応答の値は0.4~1.6Hzまでは大体一致しています。

ところが2.0Hzのときは誤差が大きくなっています。

実はaの値が最大変位を示すものではありません。bの値も使って最大変位値を示す必要があります。

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  1. 2013/02/12(火) 21:16:05|
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周波数応答の解析を最大変位にしてみる

前回周波数応答解析の結果の値と過渡応答解析の結果の値を示しました。

しかし結果を比較するためには、周波数応答の結果に一工夫必要です。

結論から言いますと、前回示したa,bの値に対して、

ds1135


を計算した値が、最大変位の値になります。

実際比較してみましょう。

ds1136


大体一致しましたね。。。

なぜこういう計算をしなければならないかと言う説明は後でしますが、

これで周波数応答と、過渡応答は同じ結果になることが確認できました。

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  1. 2013/02/13(水) 19:23:08|
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周波数応答解析と過渡応答解析の関連


前回、周波数応答解析と過渡応答解析が同じ境界条件、荷重条件で計算すれば結果が同じになる事が説明できました。

ここ一つ重要なので、もう少し説明します。

ds1137
クリックすると大きくなります。
(ちょっとわかりにくかったかな...)

いいたいことは、

過渡応答で一つの入力ファイルで計算した計算結果

は、

周波数応答では一つの周波数の結果、
つまり周波数-応答グラフ上の点一つの結果

を表すということです。

また、

周波数応答は一つの周波数の結果を計算する時間は

過渡応答を一つの入力ファイルで計算した計算する時間より、

圧倒的に短いということです。
(なぜかは追って説明します)

あと、減衰を入れないと過渡応答解析は荷重と同じ振動数の振動にならない(自由振動が減衰しない)ので周波数応答解析と一致しなくなりますので、検証すると気は注意してください。。。


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  1. 2013/02/14(木) 17:26:40|
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周波数応答の結果から何がわかるか

今回からは周波数応答の結果から何がわかるか、ということをみて行きたいと思います。

周波数応答解析の結果は、横軸(周波数)、縦軸(応答)ともに結果として意味があります。

まずは横軸(周波数の値)をみる意味についてみてみます。

どこを見るかというと、応答がピークになっている周波数です。

ds1138


この周波数は何の意味を持つのだったでしょうか。。。

そう、固有振動数でピークがたつのでしたよね。

http://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-date-20130123.html

この以前のブログでは、過渡応答解析で荷重の周波数と応答の関係をみてみました。

また、前回まで周波数応答解析は時間荷重の関係を正弦波をとした過渡応答解析の結果と同じである。

ということを説明してきました。

ということは、周波数応答解析のピークも固有振動数の値と一致するはずです。
(あたりまえですが)

前回までは2.1Hzの固有振動数しか見ていなかったので、もう少し周波数範囲を広げていくつかのピークを観察し、それが固有振動数と一致しているかみてみます。


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  1. 2013/02/17(日) 20:17:52|
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周波数応答解析の計算周波数範囲を広げてみた


では、CalculiX入力データを作成しましょう。

ds1139

といっても前回から変えるのは1行のみです。

*STEADY STATE dynamicsの後を
0.4,100,1000,1
に変えます

これは0.4Hzから100Hzまでを1000分割を目安した周波数おきに計算しなさい。

と言う意味です。

”目安”とか曖昧な言葉を使っていますが、これは次回説明します。

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  1. 2013/02/18(月) 20:21:28|
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CalculiX周波数応答解析で計算する周波数の指定について


では結果を見てみましょう。

.datファイルを見てみます。

ds1140

前回同様固有値解析の結果の後、Participation factor の結果と、指定した節点の変位の結果(実部、虚部)が出ています。

しかし、今回は周波数範囲を広げたので、結果ファイルが大きくなってしまいました。。。

Participation factorの結果はまだ必要ないので、EXCELなどを駆使して、Displacementの2つの結果を取り出して、それらを2乗して平方根をとって最大変位を計算して見ましょう。

ds1141

(EXCEL1回で読み取れないので分割して行いましたが。。。。)

A列が周波数、B列が最大変位です。

ds1142


最後のほうを見てみると、

ds1143


計算を1000個と指定したはずなのに、6940個のデータがあります。

これはどういうことでしょうか。。。

ちょっと本題から外れますが、次回説明します。

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  1. 2013/02/19(火) 20:26:19|
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周波数応答解析でピーク周波数の計算を外さない仕組み

周波数応答解析の目的の一つはピークが出る周波数を調べることです。

しかし、計算する周波数は最初に指定するので、あたりを付けておかないと、以下のようにピーク周波数を外して計算してしまうことが考えられます。

ds1144
緑の縦線が計算する周波数とすると、赤のピークの周波数が計算されていない→正しい周波数欧と解析の結果にならない。

ピークが出る周波数はというと、そう固有振動数です。

モーダル解析の場合、都合よいことにモデルの固有振動数を一度計算しますので、その結果を流用して固有振動数(=ピークが出る周波数)のときの応答計算を外さないように計算しています。

そのため、最初に設定した周波数の分割数よりも多くの周波数で計算して、固有振動数で応答計算するように調整しているのです。

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  1. 2013/02/20(水) 20:36:51|
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CalculiX周波数応答計算振動数指定方法

前回、固有振動数のピークを見逃さないために、周波数計算間隔を指定より小さくする事があることを述べました。

どのように細かくするかの計算式については、マニュアルを見てもらうことにして、実際入力した例を見てみましょう。

今まで説明してきたモデルは2.1Hzに固有振動数があるのですが、

*STEADY STATE dynamics
1.0,3.0,5,1

のように、1Hzから3Hzまで5つ周波数を計算する、と言う指定をしてみましょう。

結果は

ds1145

ひし形プロットが計算周波数点です。

9個の周波数で計算してます。

また、ピークは固有値周波数で現れるので、

固有値周波数周辺を計算する周波数の幅を小さくして、

固有周波数から外れたところは間隔が大きくして、

計算するのが効率的です。

じつは

*STEADY STATE dynamics
1.0,3.0,5,1

の3つ目のパラメータでその間隔の調整ができます。

1は等間隔になるのですが、以下のように例えば3を入れると

*STEADY STATE dynamics
1.0,3.0,5,3

結果は

ds1146

指定した最大最小周波数と固有値の周辺が細かい分割、その間は粗い分割になっているのがわかります。

このようなモーダル法周波数応答解析で自動的に計算周波数間隔を調整する機能はNastran、ABAQUSなどにもついています。

以上、寄り道でしたが、次回からまた本題に戻って、周波数応答解析の結果を見てみます。

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  1. 2013/02/21(木) 20:38:52|
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CalculiX周波数応答解析広範囲の周波数帯で計算した結果


では、100Hzまでの周波数応答の結果を見てみましょう。

ds1147

うーん、2Hz付近にピークが出ているのはわかりますが、それ以降は良くわかりませんね。。。

こういうひとつだけピークが大きい時は、縦軸を対数スケールにするとよいことがあります。

対数スケールにして見ましょう。

ds1148

今度はピークがよくわかります。

グラフから、2Hz、13Hz、36Hz、69Hz付近にピークが出ているのがわかります。

固有値解析結果を見てみると、

ds1149


ピークが出ているところに固有周波数(CYCLES/TIME)が出ているのがわかりますね。

つまり、周波数応答解析は固有振動数の情報が得られるということになります。

でも、これだけでよいのでしょうか。。。
(じつは良くないのですが、次回へ続きます)

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  1. 2013/02/24(日) 20:43:31|
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固有値解析結果を確認してみる


前回、周波数応答解析のピーク周波数が、固有値解析の固有振動数と一致することを示しました。

でも本当に一致しているのでしょうか。。。

固有値解析結果の以下の部分に注目してみましょう。

5 0.5072044E+05 0.2252120E+03 0.3584360E+02
6 0.5072044E+05 0.2252120E+03 0.3584360E+02
7 0.5491507E+05 0.2343396E+03 0.3729631E+02

5番目と6番目は同じ固有振動数ですが、7番目は少しずれてますね。

同様に

8 0.1668507E+06 0.4084736E+03 0.6501059E+02
9 0.1856768E+06 0.4309023E+03 0.6858023E+02
10 0.1856768E+06 0.4309023E+03 0.6858023E+02

9番目と10番目は同じ固有振動数ですが、8番目は少しずれてます。

今回は計算する周波数の間隔を十分小さく(0.00174Hz間隔)取っているので、

もし、固有振動数でピークがキチンと出るなら、36Hz付近と68Hz付近では拡大してみるとピークが2つに分かれているはずです。

では次回確認してみましょう

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  1. 2013/02/25(月) 20:47:20|
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近接している固有振動数を調べてみる

前回36Hz付近と68Hz付近では2つピークの山があるはずという話をしました。

実際見てみます。

まず36Hz付近

ds1150

ピークは36Hz付近で、37Hz付近にはピークが見当たりませんね。。。

次に68Hz付近を見てみます。

ds1151

65Hz付近にもピークが出ていませんね。

解析を間違ったのでしょうか。。。

これを解く解析は固有値解析にあります。

次回説明しましょう。。


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  1. 2013/02/26(火) 20:49:11|
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固有モード形状を確認してみる

今回はまず現在見ているモデルの固有値解析結果を見てみます。

CalculiXでの固有値解析入力ファイルは以下のような感じです

ds1152

計算が終わったら、cgxを立ち上げて固有モード形状をみてみましょう。

まず2.1Hz
ds1153

13Hz
ds1154

36Hz
ds1155

69Hz
ds1156

これら4つのモードはすべて

はりの曲げ

変形しているのがわかります。

一方、
37Hz
ds1157

梁が太くなってしまっていますが、

これは以前も紹介した

ねじり変形

のモード形状です。

また、
65Hz
ds1158

これはよくみると梁が伸びているので引張圧縮のモード形状です。

これら曲げ、ねじり、引張圧縮の3つのモード形状については以前にも述べましたね。

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-645.html

次回このモード形状と荷重条件のかかわりを見てみます。

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  1. 2013/02/27(水) 21:01:00|
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周波数応答解析での励起モードと励起されないモード


前回、100Hzまでの固有値解析結果に曲げ、ねじり、引張圧縮の3つのモードが見られることを書きました。

ここで、今回の周波数応答解析の境界条件を思い出してみます。

ds1102
クリックすると大きくなります

そう、上記のような感じでした。

ここで、この荷重条件が静解析でかかった場合を考えて見ましょう。

結果は、はりの曲げ変形がみられるはずです。

そこに梁のねじりや引張圧縮が見られるでしょうか。。。。

線形解析を行う限りはねじりや引張圧縮の変形はしません。

これは動解析になっても同じです。

つまり、今回の荷重条件の場合、たとえそのモード変形に該当する固有振動数が解析範囲内にあっても、ねじりや引張圧縮変形が起きないのです。。。

このような場合、このモデルでは

曲げモードのみ励起されて

他のモード(ねじり、引張圧縮)は励起されない

という場合があります。

つまり、周波数応答解析では、すべての固有周波数でピークが出るのではなく、励起されたモードのみピークが出る、ということになります。


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