静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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減衰ありの動解析有限要素法の式をモーダル変換してみる

前々回

まず、モーダル減衰について説明いたします。

と書きましたが、撤回して(--;)レーリー減衰をモーダル過渡応答解析に適用した場合から書きます。。。

レーリー減衰では、[B]マトリックスを

ds1067

であらわすと以前説明いたしました。

こうして表さられる減衰は比例粘性減衰ともいいます。

レーリー減衰で[B]を定義して、

ds1064a

をモーダル変換します。

変位、加速度のときと同様に速度について

de1068

を定義すると、モーダル変換した後の式は

ds1069a


となります。

ここで、

ds1070



ds1071ds1072


と同様に対角項のみのマトリックスになっていれば、連立方程式を1次方程式(微分方程式ですが)にしてしまう「魔法」が使えるということになります。

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  1. 2013/01/06(日) 21:48:14|
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レイリー減衰の減衰マトリックスををモーダル変換してみる

前回の続きで、減衰マトリックスが対角化できるかどうかについてです。

実際数値を入れて計算しても良いのですが、今回は式展開だけで簡単に証明ができます。

ds1073

ds1074

ここで
ds1075ds1076
は対角項のみのマトリックスなので

ds1077ds1078
も対角項のみのマトリックスになります。

対角項のみのマトリックスを2つ足してもやはり対角項のみのマトリックスになるので、

ds1079

も対角項のみのマトリックスになります。

よって、レーリー減衰を用いた場合はモーダル変換の恩恵を受けることができ、理論上計算が直接法より速くなります。

ただしこれは系(モデル)全体にレーリー減衰(比例粘性減衰)のみ入れた場合の話であって、別の定義の減衰や、レーリー減衰と別の定義の減衰を混ぜて使う場合には当てはまりません。

その場合はモーダル変換の恩恵を一部受けられなくなりますのでご注意を。。。


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  1. 2013/01/07(月) 22:01:31|
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モーダル過渡応答でのレーリー減衰


前回モーダル過渡応答で減衰をレーリー減衰で定義した場合の話をしました。

でも、以前説明したとおり、レーリー減衰はそもそも不便な点があります。

それは減衰比がどうしても周波数の関数となってしまい、周波数によって変動してしまうことです。

レーリー減衰は注目している周波数最大2点に対して狙った減衰比が入力できますが、
その他の周波数では周波数依存で減衰比が変わってしまいます。

減衰比と円振動数の関係で見ると以下のようなグラフになりましたね。。

ds1080



しかし、実際の振動は振動源が一定の振動数で振動しているとは限らない場合も多く、振動方向も不明もモード形状を励起する方向かどうかは不明の場合が多いですので、狙いの振動数を絞ることが難しい事が多いです。

となるとやはり周波数依存にしない減衰比が扱いやすいです。

モーダル減衰を使うとそれが実現できるのですが、詳細は次回以降。


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  1. 2013/01/08(火) 23:00:43|
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モーダル変換の復習


以前、減衰がない場合のモーダル法過渡応答について書きました。

http://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-entry-296.html

今回どう求めたか、求めた結果から遡っていきましょう。

最終的に変位の計算結果{u}は前述した例では

ds1081

ds1082ds1083ds1084
を計算で求めて{u}を求めます。

このds1085はモーダル変位と呼ばれていると説明しましたよね。

またこのモーダル変位 は1次固有ベクトルにかかる係数を表し、

も同様に2次固有ベクトルにかかる係数、3次固有ベクトルにかかる係数を表します。

右辺1項目は1次モードの係数の計算、右辺2項目は2次モードの係数の計算、右辺3項目は3次モードの係数の計算になっています。

このds1085をどう計算したかというと

ds1086
ds1087
ds1088

行列形式で書くと

1089a


このマトリックスは対角化されているので、

1行目はモード1についての計算

2行目はモード2についての計算

3行目はモード3についての計算

になっています。

ds1090b


ここちょっと覚えておきましょう(^^)。


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  1. 2013/01/09(水) 07:22:42|
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モーダル法過渡(時刻歴)応答のモーダル変換

さて、本題のモーダル減衰の話をする前に、モーダル法を使った過渡解析では、モーダル変換により、振動を各モードの成分に分解してから、各モードの固有ベクトルにかかる係数を求めるというものでした。

つまり現実世界(この世)の振動を直接計算するのではなく、モードごとに分解された世界(あの世)で計算を行い、結果をまた現実世界へ戻す、と言うことでしたね。

de1063

レイリー減衰は、現実世界(この世)で減衰を入力するものでしたが、

モーダル減衰は、簡単にいうとあの世(モーダル変換した後の式)の減衰を入力してしまえ、ということなのです。

つまり、直接法と同じようにモーダル変換した後の速度に比例する減衰

ds1091


を導入して

ds1092

ここで
ds1093はモード1における減衰係数、

ds1094はモード2における減衰係数、

ds1095はモード3における減衰係数

となります。

そしてこのおのおのの微分方程式を解けばよい、ということになります



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  1. 2013/01/10(木) 19:24:43|
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モーダル減衰の入力方法


では次に
de1096
このはどのような値を入れるのか、ということになりますが、

ABAQUSやNastran等の商用CAEソフトでは、一般的な減衰パラメータ(例えば減衰比など)を

モード毎

に入力しておけば、bの値はソフトの中で計算してくれます。

例えば減衰比の入力をイメージとすると

モード1の減衰比 0.001
モード2の減衰比 0.002
モード3の減衰比 0.0025

のように入力することになります。

CalculiXの場合、*Modal Dampingというコマンドを使って上記の減衰比を入力すると

*Modal Damping
1, 1, 0.001
2, 2, 0.002
3, 3, 0.0025

となります。

数値データの入力部分は
(指定する最初のモード),(指定する最後のモード), (減衰比)

というデータ構成になっています。

1番目のモードから20番目のモードまですべて同じ減衰比(例えば0.016769)であれば

*Modal Damping
1, 20, 0.016769

という入力になるのです。

これで以前実際解析を行って、

http://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-entry-197.html

狙った減衰比が出ていることを確認しています。


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  1. 2013/01/13(日) 21:47:03|
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モーダル減衰のメリットとデメリット



さて、モーダル減衰のメリットとデメリットをまとめてみましょう。

メリットとしては

1.減衰のコントロールがしやすい
モード毎に減衰をコントロールできるので、特に全周波数範囲一定の減衰比を与えるときに便利

2.試験と対応させやすい
振動試験で減衰を求める場合、実は各モードごとの減衰が求めやすいのです。これは試験結果の減衰比をそのままシミュレーションに用いることができるので、便利です。

デメリットとしては

1.モーダル解析にしか使えない
これは理論上しょうがありません。

2.モード毎に減衰が働くことに注意する必要がある。
モーダル減衰は振動をモードに分解したときの各モード毎の減衰を定義します。あの世の世界の話です。現実世界の加振周波数とか実際の振動状態とかは直接関係してきません。

何が言いたいかというと、例えばモード1の固有振動数が100Hzだったとして、モード1に0.002の減衰比をかけた場合、

それはあくまでもモード1の減衰比であって

100Hzの振動に対する減衰比ではないということです


いままでの説明を読んでいただければ明らかなのですが、実際のソフトウエアの入力はモーダル減衰を振動数範囲で入力するものがあります。

モーダル減衰を振動数範囲で入力する場合、

その振動数範囲に固有振動数があるモードに減衰がかかるのであって

現実世界のその振動数範囲の振動に減衰がかかるわけではない

ので、注意が必要です


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  1. 2013/01/14(月) 23:15:30|
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減衰比についてもう少し考えてみる


前回まで過渡応答解析のモーダル減衰の話をしてきました。

今回からは減衰と振幅の関係についてみていきたいと思います。
(今回からは減衰はモーダル減衰でもレーリー減衰でも当てはまるお話です)

直感的に考えても、


減衰が大きくなれば

振幅は小さくなる


は理解できると思いますが、その通り減衰と振幅は関係があります。

またモーダル減衰の説明のとき、減衰比は各モードごとの方が求めやすい、と書きましたが、

これはまさに振幅と減衰の関連性から算出できるのです。


さらにここで重要になってくるのが、荷重の振動数と応答(変位や応力)の関係です。

次回このあたりから話をはじめたいと思います。

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  1. 2013/01/15(火) 21:36:49|
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減衰検証用モデルの説明


今回は以下のような例題を考えて見ます。

ds1102
クリックすると大きくなります


梁の片側を完全固定、反対側のコーナーに荷重を加えます。

ヤング率は210E+9N/m^2、ポアソン比0.3、質量密度7800kg/m^3とします。

荷重はグラフのような正弦波で時間変動し、最大の荷重振幅の大きさ2.0E+5N(片側で1.0R+5N)とします。

減衰は今までの例題と同じように減衰比0.03552を用います。

このモデルのシミュレーションを行い、振動数(周期)を変えたとき、結果がどう変わるかを見ていきます。


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  1. 2013/01/16(水) 21:39:48|
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減衰検証用入力データ

今回の解析はモーダル過渡応答で行います。

入力データは以下の通りです。
ds1098

all.mshで読み込む要素は6面体2次要素を使ってメッシュ図は以下の通りになります。

ds1099
クリックすると大きくなります

*Amplitude, name=Amp-1
*INCLUDE,INPUT=t-t.csv
の部分で荷重と時間の関係が書いてあるデータを読み込みます。

例えば振動数が0.4Hzのデータは以下の通りになります。

ds1100


このようなデータを振動数毎作ります。

今回は0.4Hzから0.4Hzごとに4.0Hzまで10個の荷重データで計算してみます。

1列目は時間、2列目は

sin(2πft)=sin(2*3.14*(対象の周波数)*1列目の値)

を入れればよいだけですので、データ作るのは複雑な作業はいりませんが、手間はかかりますね。。。

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  1. 2013/01/17(木) 21:46:18|
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減衰検証用データの計算結果


では、計算結果を見てみましょう。

結果は前々回示した梁の自由端の変位の変動の結果を示すことにします。

以下例として2.8Hzの結果を示します

ds1103

以前にも説明しましたが、解析結果の初期の部分、上の例で言うと6秒くらいまでは、結果の振幅は不安定です。

これは振動の応答が、自由振動分と荷重による安定した振動分の和になっていることが原因です。

しかし、時間がたつにつれ、自由振動分は減衰し、荷重による安定した振動分のみ結果に現れるようになります。

この振動が安定した状態になると、はりは同じ変形を繰り返すだけの状態になります。

また安定した状態では、変位の振動数が荷重の振動数と一致します。

これを

定常状態

と呼びます。



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  1. 2013/01/20(日) 17:27:48|
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非定常状態と定常状態


前回、梁のモデルに正弦波形に従って時間によって荷重の値が変わる場合のシミュレーションをしました。

結果は荷重がかかり始めの時の不安定な状態と荷重がかかってしばらくしてからの安定した状態(定常状態)に分けられることを示しました。

この不安定な状態と安定した状態、振動解析では両方とも重要ですが、捕らえ方が少し異なります。

不安定な状態が重要になる時は、衝撃荷重がかかるときや、実際の製品開発でも荷重が加わってすぐ壊れる場合などです。

この場合シミュレーションは過渡(時刻歴)応答解析が使われます。

一方安定した状態が重要になる時は、繰り返し荷重による疲労が問題になるときや、共振時の変形状態を確認するときなどになると思います。(共振については後ほど説明します)

この状態のシミュレーションは一般的には周波数応答が使われます。

しかし、ここではあえて過渡応答解析で行ってみました。



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  1. 2013/01/21(月) 21:46:42|
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周波数を変えたときの梁先端変位応答の計算結果

では結果を見てみましょう。

まず荷重の周波数を0.4Hzで計算した結果です。

ds1104

安定した後の最大変位は0.03mくらいでしょうか。

次に1.2Hzではどうでしょう。

ds1105

安定した後の変位は0.042mくらいで、0.8Hzのときより少し増えました。

次に2Hzをみてみます。

ds1106

安定した後の変位は0.25m位で、1.2Hzのときとは1桁大きい振動に変わりました。

次に2.4Hzの結果です。

ds1107

変位が0.038mと2Hzのときに比べまた一桁小さくなりました。

このことから、振動数を大きくしていくと、ある振動数のところで突然振幅が大きくなり、その周波数を過ぎるとまた小さくなる、という可能性があることがわかります。



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  1. 2013/01/22(火) 17:53:42|
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周波数-安定した最大変位の関係の結果

では縦軸に最大変位、横軸に振動数をとってプロットしてみます。

ds1108

2Hzでピークが出ているのは明らかです。

つまり、この構造物に2Hzの荷重を与えると、非常に大きな変形を起こすので、大変危険です。

この構造物は長い時間2Hz前後の荷重がかからないように設計すべきです。

この一定の制限は荷重をかけたときに大きな変形が発生する現象を共振と言います。

ところで、この共振ですが、どの振動数で起きるかは、わざわざ今回のような過渡応答解析をしなくてもわかります。

以前にも少し書きましたが、共振は固有振動数でおきます。

この構造物を固有値解析をすると、

ds1109


1番目のモードは

0.2101851E+01=2.1(Hz)

で確かに2Hzに近いところに固有振動数≒共振周波数がある事がわかります。

固有値解析は過渡応答解析やこの後説明する周波数応答解析などより設定が簡単で、固有振動数が求まります。

よって、共振を防ぐ設計の第一歩は固有値解析ということになります。


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  1. 2013/01/23(水) 18:19:23|
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半値幅法での減衰比の求め方

前回、共振振動数の話しをしました。

固有値解析によって共振周波数はわかるので、その共振振動数で振動しないように設計するのが一番良いのですが、そのようにうまく行くとは限りません。

実際は共振振動数で荷重が加わることも想定しなければならないこともあると思います。

そのような場合、まず共振したときの変形や応力がどの程度になるのかを評価しなければなりません。

そこで、共振時の最大振幅について評価してみます。

が、前にも書きましたが共振時の最大変位は減衰と大きな関係があります。

そこで、まず最大変位の話をする前に、共振周波数のピークのグラフから減衰の値を求める方法を紹介します。

実は、共振周波数を

ds1110

共振時の最大変位から両側に3dB(1/√2倍)小さい変位となる時の振動数を

ds1111

とすると

ds1112

で計算できます。

ds1113


縦軸が変位になっていることに注意してください。。。

縦軸が変位ではなくエネルギーの場合は、エネルギーが1/2倍のときの周波数になるので、こうして減衰比を求める方法を半値幅法と言います。

試験で振動数と応答の結果がある場合は、共振周波数のピークから上記の計算式で求めることができるのです。



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  1. 2013/01/25(金) 21:38:31|
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解析結果から半値幅法で計算した減衰比と入力した減衰比が一致するか見てみる


ではシミュレーションで前回紹介した式

ds1112

が成り立っているか確認してみましょう。

入力した減衰比と、シミュレーションでの変位結果から上記式で計算される減衰比が等しいか確認してみます。

固有振動数付近で計算する振動数を少し増やしてみました。

ds1114

共振時の最大値は2.1Hzのとき、0.41m

0.41mの1/√2の値を計算すると、0.29m

0.29mのときの周波数は補間した値になってしまいますが、2.02Hz、2.18Hz程度でしょうか。

減衰率を計算すると

ds1115

解析入力データで設定した値が0.036だったので、精度的にはまあまあでしょうか(振動数を補間して求めているので、その分誤差が出たかもしれません。。。)

でも一致したと見てよいでしょう(^^)。



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  1. 2013/01/27(日) 21:53:14|
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Q値と共振時の最大変位と減衰比の関係

前回まで、共振ピークのグラフ(半値幅)から減衰比を求める方法について書きました。

では、最大変位と減衰はどんな関係があるのでしょうか。。。

ここで登場するのが

Q値

と呼ばれるものです。

Q値の定義は

Q=(動的な最大変位)/(静的な状態での変位)

つまり動的な変形をしたとき、静的な変形の何倍になったのかをあらわすパラメーターです。

またこのQ値は、以下の計算式からも求めることができます。

ds1116


つまり減衰比を2倍して逆数にした値がQ値というわけです。

シミュレーション上、この2つが一致しているかどうかを確認してみましょう。



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  1. 2013/01/28(月) 19:02:33|
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Q値を2つの方法で計算して比較してみる

前回使用した例題の静的変位を求めます。

CalculiX入力データを少し書き換えてあげれば、解析できます。

ds1117

結果は

ds1118


静的変位は0.030305mです。

動的変位は共振時の最大値で0.41mでしたね。

最初の式でQ値を求めると

Q=0.41/0.030305=13.52

次に2番目の式でQ値を求めます

減衰比は0.038でしたので

Q=1/(2*0.036)=13.89

大体一致していますね(^^)。

この2つの式から求めたQは同じ値をとることがわかります。


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  1. 2013/01/29(火) 21:05:27|
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減衰比と動解析の最大(応答)変位について


前回、最大変位から求めたQの値と、減衰比から求めたQの値がキチンと等しくなることがわかりました。

そこでこの2つをおなじとして、Qを消去しますと、

(動的な最大変位)=(静的な変位)/(2*減衰比)

となります。

静的な変位は境界条件含めたモデルが決まれば一意に決まりますので、動的な最大変位は減衰比に反比例することがわかります。

つまり、

共振時の最大の振幅は減衰比の値によって決まる

ということになります。

言い換えると共振時の変形の大きさや応力は減衰比が変われば、変化すると言うことなのです。

これは非常に重要です。

なぜ重要かというと、減衰比をどのように決めて入力するかで結果が変わってきてしまうからです。

減衰比は材料物性値ではありません。

よって試験結果から値を測定して入力するのは良いのですが、試験結果が無い場合はどうするのでしょうか。。。

以前にも紹介しましたが材料別に大体の値が書いてある資料もあります。

しかし、それは大体の値であって、解析対象物の状態によって変わることもあります。

また一番困るのはてきとうにエイヤッで決めた値を使って計算する場合です。

そのエイヤッで応力値が決まり、破壊するかどうかが判断されてしまうと言うことになりかねません。。。

よって、共振時の応力や変形の絶対値を見るときは、どのような減衰の値を使ったをキチンと確認する必要があります。。。


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  1. 2013/01/30(水) 21:10:33|
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解析結果から減衰比と最大変位の関係をみてみる


ではCalcliXで共振時減衰比を変えて計算してみます。

まず、減衰比0.01のときの時間と変位のグラフは

ds1119


大体1.4m位で収束しています。

次に減衰比0.02のときは

ds1120


大体0.7m位で収束していますね。減衰比0.01のときに比べて半分になっています。最大変位が減衰比に反比例しているのがわかりますね。

他のデータも合わせてグラフにすると

ds1120


最大変位が減衰比に反比例しているのがわかります。

共振時の応力や変形を求めるときには、減衰比など減衰パラメータの値に注意が必要です。

特に「減衰値わからないから”てきとー”に入れてしまえ」、をやってしまった場合は、少なくても共振時の最大応力はやはり”てきとー”な値になっているので、それで設計判断するのは危険。。。ということは押さえておいてください。

ところで、今回減衰比の話をしてきましたが、過渡応答解析で荷重の振動数を変えて計算して、その結果を

横軸-振動数

縦軸-変位

のグラフで表すことが多かったことのように思います。

この横軸が周波数になる解析は

周波数応答解析

を使うと簡単にできます。

次回からは周波数応答解析の話をしたいと思います。



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