静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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[M]{a}(慣性項)の取り扱いを考えてみる

前回までの、モーダル法過渡解析の解き方についてのあらすじをまとめると、


剛性マトリックスに

固有ベクトルから作成したマトリックスを使って、

ds1001

とおいて、さらにそのマトリックスの転置行列を前からかけると
 
ds1002

のように両側からかけると、たとえば

ds1003

のように対角項のみのマトリックスになるので、

ds1004

を変形させて作成した
ds1006



ds1005

のようになり、

aとbについての1次方程式を解けば、aとbが計算できるので、

それを固有ベクトルにかける定数

ds1007

で計算してあげれば変位が計算できる、ということでした。




ところが、今計算したいのは

「動解析」

であって、

ds1007

の式で表すことができる静解析の方程式ではありません。。。

よって今までの話は、大きく不足しています(^^;)


動解析の方程式は、減衰がない場合

ds1008

となります。ここで{a}は加速度ベクトルをさします。

aが重複してややこしいので、ちょっと表現を変えます。

ds1009

変位 ds1010ds1011



加速度ds1012ds1013



文字を変えただけで、式の意味は変わりません。


ただ、

加速度は変位を2階(2回)微分したもの

ということを強調してみただけです。

この式の

ds1014

の部分のモーダル法過渡応答での変形ストーリーは前回までの記事で確認できたので、

次回以降

ds1015


の部分を処理しましょう。



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  1. 2012/09/10(月) 22:44:04|
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慣性項をモーダルの処理をしてみる

今回から

ds1015

の部分がモーダル法過渡応答でどうなるかを考えていきます。

まず、

モーダル法過渡応答は固有ベクトルを定数倍したものの足し算で計算できる

ということを表した式

ds1001

から出発します

ちょっと文字の表現を変えます。

まず、dをuに変えます。

ds1016

また

ds1017

の中身ですが、3個の固有ベクトルを扱う場合は

ds1018

と表現していましたが

ds1019

に文字を変えます。

そのほうが教科書一般的な表現に近いから、と言うのが理由で、式の中身は変わりません。。。


さて、

ds1016

を時間で2回微分します。

といっても

で時間が関係する(時間の関数となっている)部分は

ds1021


なので、そのまま微分の記号をつければよいだけなのです。


ds1022

となるだけです。

これは

ds1016

の変位が加速度になっただけですね。

形が似ているので、[K]と同様の手順をとってみましょう。

ds1015



ds1022

に代入して

ds1023

さらに、

ds1024

を前からかけて、

ds1025

という形にします。

ds1026

と全く同じ手順ですね。



次回に

ds1027


を計算してみます。

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  1. 2012/09/11(火) 22:56:55|
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質量マトリックスの復習


今回は

ds1027

の計算をしたいと思います。

まず、

ds1028

はどんなマトリックスだったでしょうか。


実はいくつか種類があって、

集中質量マトリックス

ロッド要素ひとつの場合は

ds1029

とあらわされます。

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-668.html



同様に整合質量マトリックスは

ds1030

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-669.html


あとNastranには連成質量マトリックスと言う上記の平均を取ったものもあります。

なお

ds1031


です。

整合質量マトリックスが文字は多くて精度よさそうですが、実はそれほどでもなくて、メッシュを解の精度が出るように十分細かく切ればどれもあまり変わりません。

(建設とかプラントなどのロッド要素や梁要素中心に要素少なくモデル化する場合は影響あるかもしれませんが)

ここでは、集中質量マトリックスで考えて見ます。


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  1. 2012/09/12(水) 23:31:40|
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全体質量マトリクス[M]を計算してみる

説明のため、

以前紹介した例題を再掲します。

ただし各要素の密度を追加しておきます。

ds1032

ds1033

要素a、b、cのの要素質量マトリックスは、

ds1034

剛性マトリックスと同様に、重ね合わせて全体質量マトリックスを作ってみると、

ds1035

ここでさらに要素aの自由端が壁に拘束されているとすると、

ds1036

要素aの自由端の節点の質量成分が消えて、

ds1037


ds1038

とすると

ds1039

となります。(計算違いなければ。。。(^^;))


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  1. 2012/09/17(月) 23:28:21|
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[Φ]T[M][Φ]を計算してみる

今回は前回計算した[M]を使って

ds1027

を計算していきます。

ds1040

ds1041

でしたね。

ds1042

となります。

ここで、また対角項とほかの成分を比較すると、

対角項は-4乗のオーダーなのに対し、それ以外は-7乗もしくは-8乗のオーダーと非常に小さいので、対角項以外の成分を0とみなすことができます。

よって、

ds1043

となります。


全体質量マトリックスは全体剛性マトリックス同様、対角項のみのマトリックスになるのです。

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  1. 2012/09/18(火) 22:45:54|
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減衰なしモーダル法過渡応答解析の計算方法

前回は

ds1027

の計算をしてみました。


この結果を使って、動解析の元の式からモーダル法で計算する過程を確認してみましょう。

減衰がないときの過渡応答解析の求める式は、

ds1044

上式に

ds1045

ds1046

を代入し、

ds1047

とし、さらに各項の前から

ds1048

をかけることにより、

ds1049

そして、前回までに計算した、

ds1050
ds1051
ds1052

を代入すると

ds1053

行列計算してばらしますと

ds1054
ds1055
ds1056.png

1行目は

ds1057

についての微分方程式、

2行目は

ds1058

についての微分方程式

3行目は

ds1059

についての微分方程式

と独立した3つの微分方程式になっているのがわかります。

通常の過渡応答解析であれば微分連立方程式になってしまっているので、解くのに数値積分を利用するなど大変なのですが、これは連立していないので解くのが楽です。

どう解くかって。。。1自由度の振動の方程式と同じですので、機械工学の参考書を見てください!

(数式書くのが面倒になってきているので(^^;)省略します。。。)


よって、

ds1060

の項があっても、

連立方程式にならずに解くことが可能です。

またモード打ち切りをしてマトリックスを小さくして計算することについても剛性マトリックスと同じように扱えますので、計算が速くなるメリットがそのまま残ります。

あとは計算した

ds1061

を1次固有ベクトル、2次固有ベクトル、3次固有ベクトルにそれぞれかけて、以下のように和をとれば

ds1062

変位の結果が求められます。

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  1. 2012/09/22(土) 21:13:11|
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有限要素法モーダル法過渡応答解析計算法のまとめ

前回、モーダル法過渡応答解析の計算方法についてみてきました。


モーダル法についてまとめると、下図のような感じになるのでしょうか。。。


de1063
クリックすると大きくなります

何度か言っていますが、モーダル法は、解析する振動を各モードに分解し、それぞれのモードにかかる係数を計算しています。


この各モードに分解する計算を

モーダル変換

それぞれのモードにかかる係数を

モーダル変位

と呼んでいます。


直接法より、モードに分解する手間と係数をモードにかけて実際の変位を求める手間がかかります。

しかし、それより適当なモード数を指定(モード打ち切り)すれば、モードにかかる係数を計算する時間が、直接法で計算する時間より圧倒的に短くなります。

よってトータルではモーダル法のほうが圧倒的に早い、と言うことになるのです。


前回まで多少数式を使った説明をしてみましたが、中途半端に数式使ったので分り難かったかもしれません(^^;)。またそのうち書き直します。。。

上図にも書きましたが、直接法過渡解析は現実空間(この世)で起きているものをそのまま計算しようとする方法なので、直感的にはわかりやすいのですが、

モーダル法過渡解析はモーダル変換を行うことにより、モーダル空間に逝ってしまうので(あの世?)、通常の頭では理解が難しいのは当然です。

ただ、死後の世界(?)と違うのは、数式や振動試験、シミュレーションで理解することはできることです。

また、モーダル空間の世界がわかれば振動分野は制覇したのも同然ですので、がんばりましょう(^^)


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  1. 2012/09/23(日) 23:26:31|
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モーダル法過渡応答の減衰について


前回まで、減衰なしのモーダル法過渡応答(時刻歴)解析の話をしました。

今回からはモーダル法過渡応答解析の減衰の話をしたいと思います。

CalculiXでのモーダル法過渡応答の減衰の入力方法は以前簡単に紹介いたしました。

http://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-entry-197.html

これは

モーダル減衰

と呼ばれる減衰の入力方法です。


CalucliXでは対応していませんが、一般的にはモーダル法過渡応答はもうひとつ減衰を入れる方法があります。

レーリー減衰

の形で入力する方法です。

レーリー減衰についても以前ずいぶん長く説明いたしました。

http://vibrationcae.blog.fc2.com/blog-entry-159.html

どちらがよいかと言うと、これから説明するさまざまな理由でモーダル減衰で入力したほうがよい場合が多いかなと思っております。

次回からまずモーダル減衰について説明いたします。

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