静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

固有ベクトルを確認します

さて、前回のモデルを計算して、結果を見てみます。

ds509


変位のような結果が出ていますが、以前にも書いたとおり固有モード形状をあらわす固有ベクトルの結果です。

モード1の固有ベクトルを

ds510


とすると、解析結果から

ds511

となります。ただし、拘束点である節点1は除いてあります。

同様に、モード2、モード3の固有ベクトルも

ds512

ds513

となります。

次回この固有ベクトルを使って、モーダル法の計算原理の説明をする予定です。

もしよかったらクリックしてください。順位が上がります。。。

にほんブログ村 科学ブログ 技術・工学へ
にほんブログ村

↓tsunodakoのつぶやき
tsunodakoをフォローしましょう
スポンサーサイト
  1. 2012/08/01(水) 21:51:10|
  2. 解析講座
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

固有値解析の結果を[K]{u}={f}に代入してみる

前回、Nastranで棒の引張圧縮モデルの固有ベクトルを計算しました

ここで、以前行ったことを少し思い出してみます。

まず、モーダル法過渡解析では、

「ある時間の変形は、各モード形状をそれぞれ何倍かしたものを足し合わせて結果の形状にしていると言うことです。」

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-803.html

また、モーダル法過渡解析では、何倍するかをのその係数を計算している

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-813.html

とのことでした。

節点2,3,4の結果の変位を

ds514

とすると、
(少し表示桁を小さくして)

ds515

と表現できます。

これをもう少し行列を使って

「数学的にかっこよく」

以下のように書き換えてみます。

ds516

この式も一つ前の式も同一の式です。(x2,x3,x4を計算すればわかります…)

ここで前にも書きましたが、動解析の計算方程式は

ds493

なのですが、いまは

ds517

のみ注目しています。

ここで、この{u}は変位の計算結果なので

ds518



となります。

また、

ds519

そして

ds520

と言うふうに置き換えると、

ds521

という、よく教科書に載っている表現が出てきます。

この{u}を

ds517

にそのまま代入します。


ds522


これも教科書でよく見る形です。

例題にしたがって、値を入れた形式で書くと、

ds521



ds516

で、

ds517



ds504

なので

ds522



ds523

となります。

これだけでまだ不十分で、次回もう一工夫します。

もしよかったらクリックしてください。順位が上がります。。。

にほんブログ村 科学ブログ 技術・工学へ
にほんブログ村

↓tsunodakoのつぶやき
tsunodakoをフォローしましょう
  1. 2012/08/02(木) 21:21:38|
  2. 解析講座
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

剛性マトリックスの対角化

だいぶ前に

モーダル法は魔法のような方法



と書きましたが、これからその魔法を見てみましょう…


まず、

ds524



行と列を逆にした

行列を作成します。

つまり、

ds525

です。

何で作成するかと言うと

魔法かけるため

です(^^;)。

ちなみに、行と列を逆にした行列のことを元の行列の転置行列といいます。

この転置行列を、

ds526

の両辺の左側からかけます。

つまり、



文字式で書くと

ds528

ご存知の方にはご存知の式ですね。

では実際に計算して見ますと、

ds529a


ds530


となります。

ここでこの行列を観察してみると

ds531

の部分、つまり左上から右下までの対角線の部分(対角項といいますが)の数値は、

ほかの部分に比べて非常に大きく(一万倍以上)、

対角項以外の部分(非対角項といいます)はすべて1より小さい値となっています。

そこで、対角項以外の部分はほとんど数値的に無視して0にしてしまうと、

ds530

となります。

このように対角項以外の値は全部0になってしまう事が、非常に重要で、モーダル法のハイライト(?)でもあります。


これは、この例題に限ったことではなく、一般的に成り立ちます。

もしよかったらクリックしてください。順位が上がります。。。

にほんブログ村 科学ブログ 技術・工学へ
にほんブログ村

↓tsunodakoのつぶやき
tsunodakoをフォローしましょう
  1. 2012/08/19(日) 21:52:38|
  2. 振動解析 Part2
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

連立方程式が1次方程式になってしまうの巻

前回、例題で

ds533

を計算して、その結果

ds532

と対角項だけ値が入り、他の値は0になることがわかりました。

次に

ds534

を計算すると

ds535

となるので、

ds528




ds536

となります。

ここで重要な事が起こっています。


上の式を計算してみると

ds537


となり、連立方程式ではなくなってしまい、

3つの1次方程式になっています。

つまり、モーダル法を使うと、連立方程式を解く必要がなく、1次方程式だけ解けばよい、と言うことなのです。

実際は[M]{a}の項があるので、もう少し複雑なのですが、やはり連立方程式を解く必要はありません。

これがモーダル法の計算が速い理由その1です。

もしよかったらクリックしてください。順位が上がります。。。

にほんブログ村 科学ブログ 技術・工学へ
にほんブログ村

↓tsunodakoのつぶやき
tsunodakoをフォローしましょう
  1. 2012/08/20(月) 21:59:33|
  2. 解析講座
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

モーダル法解析のモード打ち切りと解く方程式の数

前回、モーダル法を使うと、連立方程式を解く必要がなく、1次方程式のみ解けばよく、その結果計算が速くなると書きました。


でも、本当に速くなるのでしょうか。

1次方程式を解くその準備として

-固有値解析を行う

-固有ベクトルを計算する

-固有ベクトルをならべて行列とする

-その行列の転置行列を作る

-剛性マトリックスの前からその転置行列をかける

-その結果に、固有ベクトルの行列をかける

-荷重ベクトルにも前からてその転置行列をかける

と、結構手順が必要です。

こんなに準備手順があるので、実際、モデルが持っているすべての固有値を考慮して計算しようとすると、

直接法で解くときより遅くなります。。。

では、どうして速くなるのでしょうか。。。


これは

「モード打ち切り」

にあります。

「モード打ち切り」とは、

そう、

以前にモーダル法の解析で行う固有値解析は

注目する振動数の2~3倍くらいの振動数に当たる固有値数分計算すれば十分

といったアレです。

モデルで求められる固有値の数は、そのモデルの「自由度」と同じ数で、たいてい節点数の数倍(単純計算でソリッドモデルだと約3倍、シェルモデルだと約5倍)あります。

たとえば1000節点のソリッドもであれば

3000個

くらい固有値があるのです。

しかし実際はこれ全部を計算せずに

注目する振動数の2~3倍くらいの振動数に当たる固有値数分

のみ計算しても、たいていの場合精度よく計算できると説明してきました。


ところで、先ほど計算してモデルは、3個の固有値を使ってモーダル解析を行いました。これはこのモデルに含まれる固有値が3個しかないからなのですが、

これを2個に減らしてみると、1番目と2番目のモーダル解析の結果だけ使って計算することになります。


つまり[φ]は

ds538

と、2x3の行列になります。

また[φ]Tは

ds539

となります。

ds540

値をいれてみると

ds541

106.7という値は、52909.4や2221970よりかなり小さいので、無視して、非対角項は0になります。

(もう少し精度よく桁を残して計算すると0に近い値になります)

ds542


ここで注目は、2x2のマトリックスになっているということです。


2つのモードのみ計算すると言うことは、必要な係数もモード1とモード2の2つのみなので、方程式が2つあればよいと言うことになります。

ds543

ds544の計算は自分で行ってみてください。きちんと2次元のベクトルになります。。。


これは、求めた固有値の数の分のみ方程式を解くことになっていますね。

つまり、節点数が何百万ある大規模モデルでも、モーダル法で固有値を20個しか求めなければ、20個の1次方程式を解けばよい、と言うことになります。

これに対し、直接法では何百万元の連立方程式を解かなければなりません。。。

20個の1次方程式と何百万元の連立方程式、どちらが速いかは一目瞭然ですね。

これがモーダル法の計算が速い理由の2つ目です。


もしよかったらクリックしてください。順位が上がります。。。

にほんブログ村 科学ブログ 技術・工学へ
にほんブログ村

↓tsunodakoのつぶやき
tsunodakoをフォローしましょう
  1. 2012/08/21(火) 23:48:25|
  2. 解析講座
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:1

カレンダー

プルダウン 降順 昇順 年別

07月 | 2012年08月 | 09月
- - - 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 -


プロフィール

つのだこたろう

Author:つのだこたろう
2012年8月以前の記事は管理人別ブログ http://freecaetester.blog62.fc2.com/と重複します。

最新記事

最新コメント

最新トラックバック

月別アーカイブ

カテゴリ

未分類 (10)
振動解析 Part2 (44)
解析講座 (329)
ひとりごと (1)

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

このブログをリンクに追加する

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。