静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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モーダル形状係数から変位を求めて結果とあうか確認してみる

では実際に確認して見ましょう。

2E-3秒後のものを見てみましょう

ds488


この結果によると
a=-4.5267E-7
b=-4.1910E-7
c=-3.9117E-7

となっています。

ds487


に代入すると、

y2=1.04E-8
y3=1.96E-7
y4=4.65E-6

となります。

では、Nastranの2E-3秒後の変位の結果を見てみましょう。

同じf06ファイルの後ろのほうにあります。
ds489


はい、ピッタリ合いましたね。。。

ここから、Nastranでもモード形状(モードベクトル)にかかる係数を計算して、答えを求めているのがわかります。

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  1. 2012/07/02(月) 23:43:02|
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各モードにかかる係数の値と時間の関係をみてみる

さて、前回Nastranでモードにかかる係数を出力して、確認してみました。

ところでそもそもの目的は、

「このモデルで荷重の振動数が30Hzで本当にモード1、2だけ考慮すればよく、モード3はほ無視してよいのか」

どうやって、これを調べればよいか…、とりあえず

縦軸:各モードにかかる係数の値
横軸:時間

でグラフを描いてみると、

ds490


モード1の係数グラフの振幅が、たのモードの振幅より圧倒的に大きいことがわかります。

つまり、ほとんどの時間帯にわたって、モード1の係数が他の係数より、圧倒的に大きいということです。

振幅の大きさから、ほとんどモード1しか効いていないということが歴然ですね。。。


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  1. 2012/07/08(日) 21:20:34|
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振動数50Hzの荷重で試してみる

同様に50Hzの場合を見てみます。

入力データは、

TABLED2の表がかえるだけで簡単いつくれます。。。

femapでは、表作成のメニューから

sin(2*180*50*!x)

と入力すればTABLED2のデータを作ってくれます。

前回同様、

縦軸:各モードにかかる係数の値
横軸:時間

でグラフを描いてみると、

ds491

やはり、ほとんどモード1しか効いていないようです。。。。

次回もう少し高めの振動数で、確認してみます。


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  1. 2012/07/09(月) 21:46:01|
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加振振動数100Hzの場合もみてみる

前回まで、30HZ、50Hzで

各モードにかかる係数の値



時間

のグラフから、

モード1の影響が圧倒的に大きいことがわかりました。

では、振動数を上げ、

100Hzの時はどうなるのでしょうか、

結果は下のグラフです。

ds492


やはりモード1が圧倒的に大きいのですが、モード2は無視できないくらいの大きさになってきたように見えます。

また、モード3も30Hz、50Hzの時より、影響を与えそうな大きさとなっています。

割合的には数パーセントくらいですが、単純に考えてそのままそれが解の精度誤差につながるので無視できない大きさになっていると思います。

やはり、振動数をあげた場合は高次のモードまで必要となるようです。


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各振動数の場合の変形アニメーションを見てみる

今回は、前回まで行った

30、50、100Hzの結果のアニメーションを見てみましょう

まず30Hzの場合


次に50Hzの場合、



この2つのはほぼモード1とほぼ同じ振動をしていることがわかります。

よって、モード形状にかかる係数も他のモードに比べて大きい訳です。。。

続けて100Hzの振動を見ると



モード1の変形のような単純なまげの場合とは異なる変形をしています。

この変形を各モードの和で表現するには、モード1だけではなく、他の振動モード(このモデルの場合はモード2とモード3)も必要なのです。

このことからも、振動数が高くなってくると高い振動数を持つモード形状も必要になってくることがわかります。


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  1. 2012/07/11(水) 21:52:22|
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いったんまとめ

前回まで、モーダル法で過渡解析を行ったときの、モード形状(モーダルベクトル)にかかる係数について、考察してきました。

まとめると、

1.モーダル法では正規化されたモード形状(モーダルベクトル)にかけられる係数を求めて変位を計算している

2.高次のモードになると影響は小さくなり、無視できる場合がある

ということです。

前回までの話がわけわからないという方も、この2点だけ頭の隅に置いとけば十分です。

しかし、疑問はまだ残っています。

この係数はどんな方法で計算しているのか…

ということです。

また、

なぜわざわざ固有値計算してモード形状を求め、さらにそれにかかる係数を求める、

と言う面倒な方法をとっているのか…

さらに、

何でこんな面倒な方法をとっているのに計算は速いのか…

これらをきちんと説明するには、厳密な数学的説明が必要です。

数学的説明は先述した長松先生の本等に詳しく載っているので、

ここでは、その説明を読んでもよくわからない人のために(?)、ざっくりさわりだけ説明していきたいと思います。(^^;)


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動解析の方程式のおさらい

前回取り上げたモーダル法の謎を解いていきます

まずは、ちょっとおさらいから。。。

有限要素法(FEM)とは結局何をしているかというと、

連立方程式

を解いています。

ここはソフトウェアのセミナーなどで説明あるので、理解するまでいかなくても聞いた事がある方は多いと思っています。

(わからない方はJIKOさんのWEB http://jikosoft.com/cae/index.html を見てみましょう!)


静解析の場合は

剛性マトリクス[K]

荷重ベクトル{f}

を使って

[K]{u}={f}

という方程式から、{u}を計算する、というのがFEMが実際にしていることです。


動解析の場合は、以前も書きましたが  
( http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-589.html)

減衰がない場合、

[M]{a}+[K]{u}={f}

[M]は質量マトリクス、{a}は加速度ベクトル

減衰がある場合は、
[M]{a}+[B]{v}+[K]{u}={f}

[B]は減衰マトリクス、{v}は速度ベクトル

を解きます。

加速度とか速度とか出てきて計算するもの増えているように見えますが

速度は変位を時間で微分したもの

加速度は速度を時間で微分したもの

という関係を用いると、微分方程式になり、何とか解けるようになります。

これを

ds493


とか、表記したりします。

つまり動解析は微分方程式の連立方程式を解いているのです。

ですが、微分方程式が絡んでくるとちと難しいので、

ここからの説明は、とりあえず、

[K]{u}={f}

の部分に注目して説明していきます。

([M]{a}+[B]{v}の部分は、上手く処理しているとだけ思ってください。。。)(^^;)


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  1. 2012/07/15(日) 23:08:38|
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棒の引張圧縮挙動を考えてみる

さてさて、ここで1本の棒の引張圧縮挙動を考えます。(曲げは考えない)

この引張圧縮挙動だけする棒を「トラス」と呼ぶことがあり、またNastranの「ロッド要素」でモデル化できます。

ここから剛性マトリックスを計算するのですが、導出方法は

JIKOさんのWEBに上手な説明があるのでをご参照ください(^^)

http://jikosoft.com/cae/fem_rod01.html

ここでは、簡単に書いていきます。

以下のような棒の引張圧縮(軸方向変形)のみを考えます。

ds494

また、この要素ひとつ分のの剛性マトリックス(要素剛性マトリックス)は、

ds495

となります。

この要素が長さ、断面積、ヤング率がそれぞれ違うものが3つ連なってつながっているとします。

ds497

全体剛性マトリックス[K]は以下のようになります。

ds498


ここでさらに要素aの自由端が壁に拘束されているとすると、

ds499

要素aの自由端の節点の剛性成分が消えて、全体剛性マトリックスは

ds500

であらわされます。

ds501


とすると、全体剛性マトリックスは

ds502


となります。

次回からこのマトリックスを元にモーダル法の説明をしていきたいと思います。


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  1. 2012/07/29(日) 16:16:06|
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連立方程式を解くのが直接法

前回、1次元の棒要素を例に剛性マトリックス[K]を作成しました。

前回の例題でたとえば固定していない端を1000の力で引っ張ると、

ds503

今のところとりあえずですが、静解析のように、剛性マトリックスしか考えていないので、

解く方程式は[K]{x}={f}より

ds504

連立方程式の形で書くと

ds505


このように

「連立方程式」から

ds506


を計算するのが直接法です。

ただし、前にも書いたとおり動解析は[M]{a}の部分(慣性項とも言う)が存在するので本当は少し複雑です。

それはまた後で考えることにして、では、モーダル法はどうやって計算しているのでしょうか…

なにはともあれ、最初に固有値解析しているので、このモデルも固有値解析してみることにしましょう。

固有値解析を、前回までのように手計算してもよいのですが、固有値解析計算法そのものの解説ではないので(解説しだすと1年以上またかかる)、ここではNastranを使って解いてしましょう。


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まずは固有値解析してみる

では前回のモデルをFEMAPでモデル化して、固有値解析して見ます。

固有値解析の際、質量密度が必要なのですが、ここでは9e-6を入れておきます。

ds507


モデル作成の仕方は省略しますが、Nastranの入力ファイルを示しておきます。

ds508

次回はこれを計算して見ます。


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