静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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2012年新年の挨拶代わりの独り言

皆さん、あけましておめでとうございます。(^^)

去年はものづくり屋にとって、国内では大災害、原発事故、節電、国外ではタイの洪水に記録的円高と良い年とはいえない方が多いのではないかと思います。。。

今年になって一挙に挽回できる雰囲気でもないのですが、地道にやっていきましょう。。。


さて、このブログもたまにメールが来て、楽しみに読んでいます、といってくださる方もおり、非常にありがたいことです。
(メール歓迎ですので、よろしくお願いします。原則返事は書いてますが、忙しいと出せなかったり、遅れる場合も正直ありますので、その点はご容赦ください(^^;))

また、このところ振動解析について書いていますが、現在の私の本業では行っていない業務だったりします(^^;)。

振動解析以前はやっていたのですが、ただいつ何時必要になるかわからないので備忘録にしているということもかねてやっています。

結構思いつきで書いていますので(忙しくなったら更新止まるし。。。)、体系的になっていないのですが、その点はご容赦を。。。
(本当はホームページでまとめたいのですが、手が付けられていません。。。)

振動解析について、問題になるのは
(というより、私自身が最初理解できなかったのが)

-固有値とは何か
-減衰の種類と入れ方
-モーダル法と直接法の違い
-周波数応答とは何か

振動現象に対して設計開発を行っている方にとっては、振動解析分野で出てくるパラメータは難しいものではないのかもしれませんが、静解析中心に行ってきたCAE屋にとって、突然「動解析やれ!」といわれるとなかなか大変です。。。

部分的にでも初心者の助けになれば幸いです。。。


さて現在レーリー減衰(レイリー減衰、レーレー減衰とも言う)について書いていますが、αとβは最終的にどのように決めるか(私の説ですが)、まで書いていきたいと思いますので、まだしばらく続きます。


その次にモーダル法の過渡解析、強制振動、周波数応答解析、と書いていきたいと思います。

私も学者ではないので、かなり理論的には端折った説明になると思いますが、何かご意見あればメールいただけると幸いです。

では今年もよろしくお願いいたします。

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  1. 2012/01/04(水) 22:50:27|
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断面形状を変えて自由振動の振動数を変えてみる

前回までレーリー減衰でα=0として、βのみを入力した場合を見てきました。

一定(固有)振動数の自由振動で意図した減衰が働くことが確認できました。

このβ値は10%の減衰を与える振動数を指定したので、もちろん振動数が変われば減衰率は変わってきます。

例えば断面形状を5x5から下図のように2.5x5に変更すると、固有振動数が変わるので、βの値に前回と同じ値入れると減衰のかかり方が変わってしまいます。

ds299
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自由端の応答は
ds300
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振動の減少率と周期をみてみると

周期4.8msec、1周期ごとの減少率は約5%になってしまいます。
(実現象を考えると、変位が線形解析の範囲を超えていますが、例題なので勘弁してください。。。)

このように狙った減衰率が働くのは特定の周波数だけなのです。

今回は断面形状を変えましたが、材料や梁の長さなどの形状によっても固有振動数(自由振動数のときの振動数)は変わりますので、減衰率をその都度変えないと思ったとおりの減衰挙動にならないということです。

でも、実際は振動数に依存しない減衰を入れたい場合が多いかと思います。

そういう場合どうするか、実は簡単な方法はないのですが、対処方法はまた追々書いていきたいと思います。。。

逆に自由振動など特定の振動数のみに減衰を働かせたい場合は、βのみ(または次回から述べるとおりαのみ)の入力で問題がないということも言えます。

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  1. 2012/01/05(木) 21:28:35|
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レイリー減衰のβを0にしてαを求める

さて、レーリー減衰で前回α=0としてβを計算して入力しシミュレーションを行いました。

今度はβを0としてαを求めて、それを解析データに入力してシミュレーションしたいと思います。

レーリー減衰の式は

ds273a

でしたね。

何かと話題のギリシャの文字がたくさん出て、それだけで嫌になる方もいるかと思いますが、落ち着いてみればむずかしくありません。。。

β=0とすると、

ds301

と1項目だけになります。

ここで、まずζは前回計算したとおり

ζ=0.016769

ωは振動数の2π(パイ)倍なので、420Hzのときは

ω=420×2π=2637.6

よって

ds302a


となります。

この値をABAQUSに入力します...


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  1. 2012/01/06(金) 22:05:01|
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レーリー減衰αのみ入力した結果

前回計算したαの値をABAQUS/CAEに入力します。

ds303
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計算結果を示します

ds304
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ピーク値を見てみると
ds305

とほぼ狙い通り10%ずつ減少していくのがわかります。


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  1. 2012/01/08(日) 22:45:15|
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レーリー減衰で一定値の減衰を入力したい場合を考える

前回、レーリー減衰でαのみ入力して意図した減衰を解析結果に反映することができました。

しかしβのみ入力したときと同様に特定の振動数でしか10%の減衰は成立しません。

自由振動の振動数(つまり固有振動)は形状や材料や拘束状態によって変わります。

しかし、減衰はどんな状態、振動数にもよらず一定値としたい時はどうしましょうか。。。


もう一度レーリー減衰の式を見てみます。

ds273a


この式を見てみると、

ζは減衰率から入力できます。

ωは振動数から入力できます。

αとβは未知数です。

ということは未知数が2つの方程式です。

ということは式が2本あればαとβが解けます。
(当たり前です。。。(^^;))

ここで、まず2つケース、例えば断面が5x5の場合と2.5x5の場合を同じ減衰の入力で同じ減衰が働くようにすることを考えてみます。


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  1. 2012/01/09(月) 18:50:00|
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αとβの連立方程式を立てて減衰の定数を決めてみる

減衰は前回と同じように1周期ごと10%減少する場合、ζ=0.016769とします。

まず、5x5断面のときは

ds306

1次の固有振動数は420Hzだったので、円振動数ωは

ω=2637.6

レーリー減衰の式に代入すると

ds307 - (1)


次に、2.5x5断面の場合

ds299

1次の固有振動数は210Hzだったので、円振動数ωは

ω=1318.8

レーリー減衰の式に代入すると

ds308-(2)


(1)、(2)を連立方程式でとくと
α=29.487
β=8.4769E-6

これらの値を入力して自由振動のシミュレーションをして見ます。正しく計算できれば210Hzの振動(2.5x5断面)でも420Hz(5x5断面)でも減少率10%で減衰していくはずです。


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  1. 2012/01/10(火) 20:08:17|
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レーリー減衰のαとβを入力した過渡応答計算 その1

では、計算してみます。まずは断面5x5の場合で、前回計算したα、βの値を入れてみます。

ds309
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解析結果は

ds310
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数値データを出力してピーク値の減衰を見てみると、

ds311

10%ずつ減衰しているのがわかります。


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  1. 2012/01/11(水) 21:31:56|
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レーリー減衰のαとβを入力した過渡応答計算 その2

前回5x5断面の時と同じα、βの値で2.5x5断面のシミュレーションを行って見ます。

ds312
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結果を見てみると

ds313
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減少率を計算してみると

ds314

10%の減少率になっています。

これで振動数210Hzと420Hzの自由振動に共通の減衰率を与えることに成功したことになります(^^)。


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  1. 2012/01/12(木) 22:35:54|
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レーリー減衰のαとβ

前回、振動数が210Hzと420Hzで同じ減衰を作用させるα、βを求めシミュレーションを行い、効果を確認しました。

しかし、α、βをこんな無理矢理(?)減衰に合わせるような求め方をして、良いのでしょうか。。。

良いのです。

なぜかというと、前にも書きました、レーリー減衰の定数というのは現実物質の物性値ではなく、数学的なモデルだからです。

言い換えると、仮に減衰が

ds273a


と与えられるとしたら、動的挙動が数学的に扱いやすい、というだけです。
(と、私は解釈してます)

よって、全振動数範囲、つまりωが0から無限大の範囲でこの式に減衰がぴったり当てはまる物体はないと思います。

もう一つ、「この方法だと210Hzと420Hzで減衰は狙った値になるが、他の周波数で狙った値と異なった値となるのでは」ということも疑問として残ります。

これも残念ながら確かにそうで、この2点でしか狙った減衰になりません。

「そんなこといわれても、上司から高精度の振動シミュレーションを求められているので困る」とおっしゃられる方もいると思いますが、これは直接法過渡応答の定式化上しょうがないです。

そこで、なんとか誤差を小さくする方法を考えて見ましょう。。。



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  1. 2012/01/15(日) 20:47:12|
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他の周波数で減衰がどうなっているか調べてみる

前回までレーリー減衰入力を使用して210Hzと420Hzでピークの減少率が10%になるα、βの値を定めました。

このα、βの値はそのまま使用して、他の振動数の振動でピークの減少率がどうなるか調べてみましょう。

梁の自由振動を例題にして来たので、自由振動の周波数すなわち1次の固有振動数の異なる梁モデルを作成すればよさそうです。

断面形状や長さなどを変えても固有振動数を変えられますが、メッシュを切りなおすのが面倒なので(^^;)、ヤング率を変えることにします。

片もち梁の1次振動数は、以前紹介したとおり(http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-entry-635.html)で手計算できます。

1次の曲げ振動は

で計算できるので、この式を使って狙いの固有振動数になるようなヤング率を計算します。

狙いの固有振動数は

100Hz、300Hz、500Hz、1000Hzにしましょう。

モデルは5x5の断面梁にして、狙いの固有振動数になるように上の式を使ってヤング率を計算すると、
100Hz – 12000MPa
300Hz-105000MPa
500Hz-300000MPa
1000Hz-1200000MPa
になります。

このヤング率に変更し、前回までで計算したモデルとα、βを使って自由振動をシミュレーションしてみます。


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  1. 2012/01/16(月) 21:52:50|
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いろいろな周波数の減衰自由振動計算結果

では計算して自由端の変位の振動結果を見てみます。

まず100Hzの場合
ds315
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300Hzのとき
ds316
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500Hzのとき
ds317
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1000Hzのとき
ds318
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1000Hzのときは固有振動数に対して加振時間が長いので、最初の応答が大きいですがその後きちんと自由振動しています。。。

ピーク値を取ってその減少率を計算してみると
ds319

となります。次回考察してみます。


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  1. 2012/01/17(火) 21:50:21|
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自由振動の周波数と減衰の関係は

前回自由振動の振動数を(無理矢理?)変えて、減衰がどうなるか見てみました。

3サイクル目と4サイクル目の変位の減少率をグラフにしてみます。

ds320

ここでもう一度思い出して欲しいのは、今回の計算は210Hzと420Hzで減少率が10%になるようにレーリー減衰のαとβを求めて、その値で他の周波数もシミュレーションしたということです。

「tsunodakoさん、まさか、210Hzと420Hzの間はだいたい減少率10%なので、210Hzと420Hzの間であればこのαとβの値が使えると言うのではないのでしょうね。。。」

ピンポーン。その通りです。(^^;)

もちろん最終的に減衰値があえばいいので、いろいろな方法が他にもあるかもしれませんが、私はこの考え方です。。。


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  1. 2012/01/18(水) 21:41:44|
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レーリー減衰αとβを一定にしたときの減衰比と周波数の関係

前回自由振動周波数とピーク値の減少率を実際に計算してみました。

実はそんなことしなくても

ds273a

のグラフをエクセルで描けば円振動数ωと減衰比ζの関係がわかります。

今回は
α=29.487
β=8.4769E-6
の値を使っていますので、これらを代入してグラフを描かせると、
ds321

とレーリー減衰を説明するときに良くあるグラフと同じになります。

振動数とピークの減少率のグラフに書き直してみると

ds322


200Hzから500Hzぐらいは約10%になっていることがわかります。

よって、今回のような解析では、2つのω間の周波数付近、つまり200Hzから500Hzくらいまではほぼ一定の減衰がかかっていると見ていいといえます。


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  1. 2012/01/19(木) 21:25:38|
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レーリー減衰αβを決める方法

前回、ω1とω2の間と値周辺は減衰が大体10%程度でほぼ一定になっていると書きました。

この性質を使えばレーリー減衰のαとβを使って一定の減衰を与える計算方法が見えてきます。

まず、ω1を1次の固有円振動数に設定します。

次にω2を考慮する円振動数の上限に設定してください。

あとは、ω1、ω2を下記の式のωに代入して、2本の方程式を作ります。。。

ds273a

そしてα、βについて解きます。

あとは前回のようにグラフを描いて、ω1とω2の間でどの程度の減衰がかかるのか、狙った値との誤差を確認してください。

もちろん、ω1とω2の間では極小値があり、減衰比の値が変化するので厳密に一定ではありませんが、誤差を小さくするのには非常に有効だと思います。


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  1. 2012/01/23(月) 21:55:48|
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レイリー減衰αβを決める計算のときのωの決め方

前回レイリー減衰のα、βの決め方について書きました。(私流ですが。。。)

ここで2点質問が出てくるかもしれません。

まず、ω1はなぜ1次の固有振動数なんだ?それ以下の振動数で振動することはないのか?

この質問には確かに1次の固有振動数以下の振動数で振動する可能性はありますが、それは無視できる場合が多い、といっておきましょう。

1次固有振動数というのは、その物体の振動しやすい振動数(周波数)のうち一番低い振動数です。

つまり、1次固有振動数以下の振動数に、その物体が振動しやすい振動数はないということなのです。

よって、1次固有振動数以下の振動数では物体は振動しにくい(実際無理矢理その振動数で振動させても応答が小さいことが多い)ので、無視してかまわない、ということなのです。
(たぶん周波数応答解析のときに、このあたりはもう一度説明することになると思います)


次にω2の値についてですが、考慮する周波数の上限というのは何だ?ということでしょう。

例えばそれが1MHz(1000000Hz)でもよいのか、ということになりと思います。

これについては、まず試験や解析の前例から大体どの程度の範囲の振動数を対象に解析するか、が決まっている場合が多いと思います。

つまり、振動試験でもターゲットとなる振動数範囲が決まっているはずなので、それにあわせればよいということなのです。

ただ実験している範囲そのまま当てはめると、周波数範囲が広めに設定される場合もあるので、実際効果が出そうな最大周波数がわかっているのであればその周波数に設定しても誤差は少ないでしょう。
(要はセンスしだいということ(~~;)

ω1とω2の差が大きいと、その間の周波数はそれだけ誤差が大きくなります(厳密に一定ではないので。。。)

ただし、FEMではメッシュの大きさによって解析で切る振動数の上限が決まってしまうので、その上限以下にしなくてはなりません。。。(詳しくは次回以降述べます)


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  1. 2012/01/23(月) 21:59:43|
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メッシュ分割と振動

少し話しがそれますが、メッシュ分割と振動について考察してみたいと思います。

片もち梁の以下の振動モード

ds323

を見てみます。

このときの固有振動数は

7169Hz

です。

7169Hzの強制振動を与えるとこのモードで振動すると考えていただいても良いでしょう。
(本当にそうなるかどうかは今後検証します。。。)

これを長手方向に2分割のモデルで計算できるでしょうか。。。
(要素はとりあえず1次要素とします)

ds324

無理そうですね。。。

無理矢理行っても、

ds325

(^^;)。。。

では4分割ではどうでしょう。

ds326

計算してみると、

ds327

それっぽくなってはきましたが、滑らかではありませんね。。。


8分割ではどうでしょう

ds328

ds329

だいぶ近づいてきました。

この結果から見ると最低4分割、できれば8分割以上必要です。

逆に言うと、2分割では7169Hzの解析は

無理

ということになります。

振動数が大きくなると振動はより細かく(波の数が増える)なるので、少なくても2分割では7169Hz以上の解析は正しく出来ないということになります。。。。

このように、高い周波数では答えが出たとしても、メッシュサイズが粗いと正しい結果とはいえないことがあるので注意が必要です。

一般的に言うと、高い振動数を解析するためには細かいメッシュが必要となります。

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  1. 2012/01/26(木) 21:53:43|
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どのくらいの振動数まで計算できるかを固有値解析で確かめてみる

さて、前回メッシュと振動数の関係を示しました。

高い周波数になるとより細かいメッシュが必要になります。

では今モデルを作成しメッシュを切ったとして、このメッシュがどれくらいの振動数まで計算可能なのかというのはどうやって調べればよいのでしょうか。。。

静解析であれば計算時間が短いので、メッシュの粗さ(大きさ)が異なるモデルをいくつか準備して比較すれば評価できます。

が、過渡応答解析では解析時間がかかるので、メッシュサイズを変えて計算するのは難しいです。

そこで用いられるのが固有値解析です。

例えば、例題で使用した片持ち梁のモデルを例に取ると、

ds330


まず1番目のモード(478Hz)、もちろん今まで見てきた通り、きれいなモード図を示しています。
ds331


全部紹介すると大変なので少し飛ばして6番目のモード(8119Hz)、これもきれいなモード図を示しています。
ds332

これは13番目のモード(24821Hz)ちょっと変形がいびつになってきましたが、まだ大丈夫そうです。
ds333

これは19番目のモード(48025Hz)。かなり苦しくなってきました。このモード変形図を見て正しく解析出来ているかどうかという判断は人によって分かれそうですね。
ds334

これは24番目のモード(64509Hz)。ちょっとこれでは正しい解析結果というのは難しい感じですね。
ds335


どうやらこのモデルでは、19番目のモードが限界のようです。よって、48025Hz以上の振動数で解析することはこのメッシュでは難しいといえます。

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  1. 2012/01/29(日) 23:05:38|
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メッシュサイズからくる限界の振動数からレイリー減衰αβを求める

前回、メッシュサイズによる解析対象の振動数の話をしてきました。

まだ加振を強制振動にする話をしていないので、48025Hzの振動とはどういうことか、を詳しく解説する必要があるのですが、それは後の機会に詳しく説明することにして、
ここでは
-メッシュサイズにより精度よく計算できる限界の振動数が決まる
-高い振動数では細かいメッシュが必要
ということを、なんとなく覚えていただければと思います(^^;

で、本題はレーリー減衰のαβの求め方でした。

復習すると、未知数2つ(αとβ)の連立方程式を解くので、ω1、ω2の2つの円振動数(=2×円周率×振動数)を決めればよかったのですよね。。。

全く見当がつかない場合、ω1は
1次の固有円振動数
を入力するという話をしました。

ω2ですが、前回求めたように固有値解析を行って、そのメッシュでの限界の振動数を求めて、それを使うという手もあります。。。

ただし、この場合ω1とω2の差が大きくなるので、ω1とω2の間で減衰率がどれくらいの誤差が出ているのかを確認しておく必要があると思います。。。

あとは経験を重ねて、上手く減衰の値を決められるようになってください。。。(^^;)

なお、これは私が行っている方法であり、万人に通用するかどうかは不明です。。。

この方法で行った解析結果やそれによって生じた問題(上司や先生に怒られるなど)は一切責任を負いかねますので。。。(--)


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