静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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一自由度ではなく普通のモデルのときはどうなるか(静解析屋さんのための動解析FEM講座119)

前回まで一自由度の振動問題を解いてきました。

結局
ds194
ds195
から、ωを計算すると言う話でした。

ところが、実際の有限要素法のモデルは1自由度ということはほとんどなく、

節点の数から考えて、少なくても数十から数百あります。

(すべてソリッド要素のモデルであれば自由度=節点数x3)

このような場合を多自由度系というのですが、そのとき固有値解析は何を解いているのでしょうか。。。

それを考える前に、上記の式を少し書き換えておきます
(と言っても見やすくするだけです)

上の式から
ds214
また
ds215
なので
ds216
ds217
とおくと
ds218

ここで思い出して欲しいのが、静的解析のとき解いている式
ds220

です。[K]は剛性マトリクス、{x}は変位ベクトル、{f}は荷重ベクトルでしたね。

ここでも

k→[K]

x→{x}


と置き換えてみます。

mは静解析ではないので、[M]を作って、質量マトリックスと名付けましょう。。。

そうすると、
ds219

固有値解析ではこの式を解いているのです。。。

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  1. 2011/06/01(水) 22:33:35|
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剛性マトリックス[K]とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座120)

前回、固有値解析は
ds219
を解いていると書きました。

これをとくことを考えるために、

剛性マトリクス[K]



質量マトリクス[M]

とはどういうものか、簡単に見ていきましょう。
(本格的に知りたい方は、著名な先生方がかかれた良い教科書がたくさんあるので、そちらをご参考)

簡単な要素の例、ロッド要素を一要素(つまり要素剛性マトリクスと要素質量マトリクス)を考えます。

ds221b

ロッド要素とは、伸び縮みはするが、曲がらない棒みたいな要素

と考えていただければよいです。

よって、棒の長手方向しか変形せず、節点もその方向にしか移動しません。


まずは[K]から考えて見ます。

一応この記事は静解析が分かっている皆さんに書いているつもりなので、[K]の説明は省略しても良いのですが、

後で[M]の作り方と関連している部分があるので、少し触れておきます。

[K]の作り方ですが、JIKOさんのホームページ

http://jikosoft.com/cae/fem_rod02.html

に詳しく書かれているので、ここでは省略します(^^;)

結果として剛性マトリクス[K]は

ds222

となります。

固有値解析ではこの式を解いているのです。。。

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  1. 2011/06/05(日) 20:25:24|
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連成していると言うこととは。。(静解析屋さんのための動解析FEM講座121)

ここで一つ付け加えたいことがあります。

このマトリクスで

[K]{x}={f}

としたとき、節点1と節点2の力と変位が連成しているということです。

つまり、

節点1の変位が変われば、節点1の力も節点2の力も変わる

節点2の変位が変われば、節点1の力も節点2の力も変わる

と言うことです。

これは、[K]の非対角項成分が0でないことに起因しています。

丸がついているのが非対角項成分です。
ds223


物理現象的には当たり前なのですが、質量マトリクスの場合どうなるのかと言う話を後でするので、気に止めておきましょう。

固有値解析ではこの式を解いているのです。。。

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  1. 2011/06/06(月) 20:23:27|
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集中質量マトリクスとは(静解析屋さんのための動解析FEM講座121)

さて、次は質量マトリクス[M]の話。

前回同様、
以下のロッド要素を考えたとき

ds221b

その質量は、長さx断面積x質量密度なので

ALρ

で、表すことが出来ます。

これは節点2つ分の質量なので、単純に

節点1が受け持つ質量と節点2が受け持つ質量に等分してしまえ!

という考えで定式化されたのが、集中質量マトリクスです。

マトリクスの形で書けば以下の通りになります。

ds224

対角項しか値がなく、自由度(節点)同士連成して以内のがのが特徴です。


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  1. 2011/06/07(火) 20:30:50|
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整合質量マトリクスとは(静解析屋さんのための動解析FEM講座122)

前回、集中質量マトリクスに説明いたしました。

しかし、

-単純に等分でよいのか

-非対角項は本当に0でよいのか

など疑問が少し残ります。。。


後で示しますが、実際の計算では、集中質量マトリクスを使っても精度よく計算が出来ます。

しかし、非対角項が0でない質量マトリックスの考え方も存在します。

整合質量マトリックスと呼ばれて、ロッド要素の例の場合、以下のようにあらわされます。

ds225

剛性マトリクスのように、変位内挿関数から計算して出します。

詳しい導出方法はここなど(文字の表す意味が変わってますので注意)を参照してください。
ググれば他にも出てきます。。。


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  1. 2011/06/08(水) 20:49:09|
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集中質量マトリクスと整合質量マトリクス、どちらが良いか(静解析屋さんのための動解析FEM講座123)

集中質量マトリックスと整合質量マトリクス、2つの質量マトリクスを紹介しましたが、

さて実際計算するのはどちらが良いのでしょうか。。。


私が見てきた限りでは、ほとんどの場合集中質量マトリクスで良いと思います。

メッシュが十分な細かさに分割されれば、どちらも正解に近づいていくことが証明されているようです。

よって、特に機械系の計算でCAD形状から十分細かいメッシュを作成して作るモデルは集中質量マトリクスでよいです。


建築の分野で梁とマスでモデル化して少ない要素数で計算する場合、整合質量マトリクスを使用しているのを良く見かけます。


私の見た限りでは、

精度:整合質量マトリクスの方が集中質量マトリクスより要素数が少なくても正解に収束する
ただし、剛性([K])の方の精度を上げるため、たいていのモデルは十分なある程度の細かさでメッシュを切るので、その場合両方の差はほとんどない

計算速度:プログラムにもよるが、非ゼロ成分が少なくなる集中質量マトリクスの方が早い

ということで、集中マトリクスを使った方が一般的には有利と言うことになります。

なんかよしあしがあまり理論的でないけど大丈夫なの?と言う方は、

ホクトシステムさんのWEBにある

続・有限要素法・よもやま話 第34話 有限要素法は経験工学か

をご一読ください。(でもやはり理論派の人にはあまり解決にならないかもしれませんが)


ここからは余談です。。。

少ない要素数の場合で固有値を計算した場合

整合質量マトリクスは固有振動数が過大評価され、集中質量マトリクスでは過小評価されます。

よって、その真ん中をを取ればちょうど良くなるのではないか、ということで、整合質量と集中質量の平均値を取ったのが、Nastranの連成質量マトリクスです。。。

でもそのNastranも通常のモデルでは集中質量マトリクスを推薦しているようです。。。


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  1. 2011/06/09(木) 21:25:27|
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固有値解析の話は終わりにします

前回まで固有値解析の話をしてきました。

が、なんか話がマニアックになってきました。。。


これ以上固有値解析の話を続けても

理論的な話-専門書にはかなわない。。。

マニアックな話-わかる人にしかわからない。。。

ので、そろそろ終わりにします。


振動解析の話で、話したいなーと思っているのは、

1.減衰の話

2.モーダル法の話

3.周波数応答解析の話

の3つなのですが、まず減衰の話をしたいと思っています。


しかし、まだCalculiXで検証が十分していないので(ツイッターのやりすぎ??)

変更もしくは更新が途切れましたらご容赦願います(^^;)


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  1. 2011/06/14(火) 00:33:23|
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CalculiXの動解析の減衰機能を見てみた

ということで、CalculiXの動解析の減衰機能について調べてみました。

が、ABAQUSの

*DAMPING

コマンドがない(TへT)。。。

ということは、直接法で減衰は入れないということか。。。


アメリカのYAHOOのCalculiXのグループの掲示板で調べてみると。。。

やっぱりないようです。。。


*MODAL DAMPINGはあるので、モーダル法を使った過渡応答、周波数応答には減衰は入れられるようです。

しょうがないので、直接法の減衰をABAQUSやNASTRANを例に説明して、その後モーダル法の説明をすることにします。。。

上述のことが何のことを言っているのかさっぱり分からない方が分かるような説明を次回から試みてみます。。。



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  1. 2011/06/15(水) 19:53:13|
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減衰率は物性値ではありません(静解析屋さんのための動解析FEM講座124)

まず、減衰の話で最初にしたいのが

減衰率は物性値ではない、つまり

鉄の減衰係数 x.xxx
銅の減衰係数 x.xxx
プラスチックの減衰係数 x.xxx

とか、あるわけではない。。。

ということです。

減衰は材料によっても変わりますが、

速度
加速度
形状
周りの環境



etc

に依存するものです。


では、どうやって決めるのでしょうか。。。

実際のものをキチンと測定するしかないのです。。。


えー、測定できないからシミュレーションするのに…、


といわれても、コレだけはしょうがなく、実際振動解析の難関の一つです。

データがない場合はしょうがないので、過去のデータや別形状のデータ、それもない場合は同じ材料の値を論文やWEBから引っ張り出して、仮で入力、実験を行った後、調整する、という感じのところが多いと思います。

ただし、後述しますが結果に対して減衰の影響が大きいものと、小さいものがあるので、もし小さいもののみ必要であれば減衰は大まかな値もしくは入力なしでも問題ない場合もあります。

具体的には今後述べていきます。。。



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  1. 2011/06/16(木) 23:49:07|
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そもそも減衰率とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座125)

しかし、そもそも減衰率とは何なんでしょうか。。。

実は前回まで「減衰率」という言葉をわざとあいまいに使ってきました。。。

実際に減衰を入力するとなると。。。

何を入れるのでしょうか。



解析ソフトののマニュアルを見ると

-構造減衰係数

-モーダル減衰係数

-レーレー減衰のα値、β値

等等

何かいろいろな形になっています。。。


これらの係数は、入れ方によって効き方が変わったり、解析の種類によっては使えなかったりします。。。

また試験から出てくる値がそのまま使えるのか、何か換算しないと使えないのか、全く使えないのかを確認しておく必要もあります。

よって残念ながらある程度理論がわかってないといけない、ということになるのですが、次回以降少しずつ見て行きましょう


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  1. 2011/06/19(日) 19:08:42|
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まずは対数減衰率とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座126)

減衰に関しては、もちろん振動関係の教科書を見れば詳しく書いています。

正確な理論については教科書の方を参照いただくとして、

ここではシミュレーションの入力に必要なパラメーターを

いつも通り、ざっくりと(理論的にはかなり「雑」に。。。)

また、それに関連する豆知識(!)を

説明していきたいと思います。


さて、減衰をグラフで表現すると、いろいろな表し方があるとは思いますが、

以下のようなあらわし方もひとつの方法だと思います。

ds226c

自由振動で、徐々に振幅が小さくなっていく、というものです。

このとき、隣り合う極大値の比、たとえば

x2/x1



x3/x2

が一定の割合、たとえば0.8であれば、それを解析ソフトに入力すれば、減衰が考慮できる、

という仕組みであれば、簡単でわかりやすいのですが、

残念ながらたいていのソフトではそうなっていません。。。


ただし、この”比”は重要なパラメータのひとつであります。

この比の逆数の自然対数をとった値、つまり

δ=ln(x1/x2)=ln(x2/x3)=ln(x(n)/x(n+1))

を対数減衰率と呼びます。

ところで、ln(x1/x2)とln(x2/x3)が果たして同じ値になるかというと議論はあるかと思うですが、

まずは同じになると仮定して、話を進めさせてください(^^;)

また、単なる比ではなくて、何で対数をとるのか、ということも理由はあるのですが、

そこも知りたい方は教科書の方でお願いします(^^;;)。。。


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  1. 2011/06/20(月) 21:47:57|
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次に減衰比とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座127)

前回対数減衰率について述べました。

この対数減衰率は減衰する自由振動の

時刻歴波形(時間-変位の波形)

を観察できれば、割と簡単に計算することが出来ます。。。
(ただし、この対数減衰率はその共振周波数での減衰値ということに注意する必要があります。)

自由振動は、ハンマー打撃試験などで割りと簡単に出来るので、

対数減衰率は実物からわりと求めやすいものだと思います。


さて、この対数減衰率をシミュレーションソフトに入力できれば良いのですが、

残念ながら直接この値を入力するソフトも多分ないと思います。。。


もう一つ、減衰を表す重要なパラメーターに

減衰比

というものがあります。

”比”と名前がついているので何かと何かの比なのですが、
ここでそれ以上立ち入ってしまうと話が長くなるので、やめときます(^^;)。
(理論的にはかなり重要な部分です。また機会があればお話します)

多くのFEMソフトの減衰の入力はこの減衰比をベースに計算できます。
(やはりそのまま入らないのがミソですが。。。)

そこで減衰比を求めたいのですが、前回お話した対数減衰率から簡単に計算する方法があるのです!!

減衰比が0.3以下の場合

(減衰比)≒(対数減衰率)/2π

つまり、対数減衰率を6.28で割れば、減衰比の近似値になります。。。

振動するものでよほど特別なものでない限りは減衰比は0.3以下になるので、

まずこの式が使えます。。。


かなり理論的に重要なところは端折っているので、

「こんな解説ダメだ」

と言う声が聞こえそうですが、

「まずはやってみる」

と言うのがあっても良いのではないかと思って書いてたりします。。。



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  1. 2011/06/21(火) 22:07:17|
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ソルバーや解析の種類によっても減衰の入れ方が違うかもしれないという話(静解析屋さんのための動解析FEM講座128)

さて前回までで

自由振動試験結果→対数減衰率→減衰比

間で求まりました。


ここで、解析ソフトに減衰を入力しようと思うのですが、同じソフトでも解析の種類によって減衰の入れ方が変わります。

例えばNastranで動解析といっても、色々あります。


ソリッド要素などの構造要素に減衰を入れる場合、解析の種類と減衰の種類の組み合わせは

(実)固有値解析:減衰不可

直接法過渡応答解析:構造減衰係数と変換周波数

直接法周波数応答解析;構造減衰係数

モーダル法過渡応答解析:モーダル減衰

モーダル法周波数応答解析:モーダル減衰

となります。

固有値解析は、減衰不可です。

ただし複素固有値解析というものがあり、それには減衰を入力しますが、素人が触ってはいけません。。。

直接法過渡応答解析(時刻歴応答解析)はCalculiXでも説明した解析法です。CalculiXでは減衰は入力できませんが、Nastranでは(と言うか普通の商用ソルバーは)入力可能です。

モーダル法や周波数応答の話はまた後でしますので、

まずは直接法過渡応答解析(時刻歴応答解析)話からしましょう。。


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  1. 2011/06/22(水) 23:29:47|
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NASTRANの過渡応答解析の減衰入力(静解析屋さんのための動解析FEM講座129)

えーと、まず解析ソフトの正しい入力方法は、ベンダーからのマニュアルやサポートからの情報で確認してください。

下記は参照まで、ということで。

また、下記の話は、NXやMSCのNastranのバルクデータ入力では大丈夫だと思っていますが、NEiとかはよく知らないのでご勘弁を。

またPatranやFEMAP,NX等ののプリプロセッサーからの入力は、ご自分でご確認ください。。。。
(かならず入力するところがあるはずです。多分。。。)


Nastranの過渡応答でで減衰を入力する場合、少なくても2つ入力値があります。

一つは、減衰比の2倍を入力します。

入力する場所は、

材料ごとに入力したいのであればMAT系カードのGEというフィールド
(MAT1カードであれば9フィールド目です)

もしくは

モデル全体まとめて減衰入力したい場合は
PARAM,G,減衰比の2倍

を入力します。


もう一つ必要な入力は、減衰値で対象となる周波数です。

材料ごとに減衰を設定した場合は、

PARAM,W4,対象となる円振動数

モデル全体まとめて減衰を入力したい場合は

PARAM,W3,対象となる円振動数

を入力します。

円振動数を入力するので、周波数単位のデータの場合は2πつまり6.28をかけてください。。。

必ず減衰値の値の2倍と円振動数セットで入力してください。

えっ、周波数や円振動数はどんな値入れればよいかって。。。

それは次回



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  1. 2011/06/23(木) 22:42:07|
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NASTRANの過渡応答解析のW3,W4の周波数の決め方(静解析屋さんのための動解析FEM講座130)

このW3とかW4の円振動数の決め方をベンダーサポートに聞くと、

「振動に一番効いていると思われる周波数を円振動数に換算して入れてください」

と言うような答えが返ってくると思います。

具体的にはどういうことなのか、入力例を挙げて見たいと思います。

なお入力方法については、サポートの回答があいまいであることからも分かるように、

絶対的な正解はありません。。。(あったらソフトに組み込まれているはず。。。)

よって、最終的には試験結果と一致するように調整してください、というのが正解なのかもしれません。

これから挙げる例は私の独断偏見も入っているので一つの例として、見てください。。。


まずは自由振動の波形が取れている場合、

以下のように自由振動の波形が取れている場合は、そこから周期を計算して、振動数や円振動数に換算したものを入力すればよいです。

ds227

振動数=1/(周期)

円振動数=2π/(周期)

Nastranのテキストデータ入力ファイルに直接入れる場合は

円振動数を入力

Patran,Femap、NXなどのプリポストを使う場合は、プリポストの指示に従って、振動数か円振動数かを入力してください。

自由振動の試験結果がない場合は次回以降に説明します。。。



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  1. 2011/06/26(日) 22:56:59|
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NASTRANの過渡応答解析のW3,W4の周波数の決め方その2(静解析屋さんのための動解析FEM講座131)

自由振動の試験結果が得られていない場合、

例えば地震波のようなランダムな荷重により、応答(変位など)もランダムな振動の結果になっている場合を考えましょう。

例えば以下のような場合です。

ds228a

周期も振幅もばらばらに見えます。。。

しかしこれを信号処理することにより、この振動でどの振動数が支配的なのかを調べることが出来ます。。。
(調べるのが振動試験の目的なのであるのですが。。。このあたりは周波数応答の説明でたぶんもう少し詳しくお話します。)

信号処理の仕方はFFTとか使うのですが、それは後ほど。

振動試験の測定する機器はリアルタイムで分析できます。

調べた結果のひとつとして、以下のように横軸振動数、縦軸応答(振幅)のグラフを得ることが出来ます。
ds229

このようなグラフのピークを示している振動数が、この振動の支配的な振動数です。

つまり、「一番効いている振動数」となるわけですので、その角振動数(もしくは振動数)の値をW3,W4として入力すればよいのです。



では一人で質問コーナー(^^;)


えっ、複数ピークがあるんだけど、と言う話ですか。。。

その場合は一番高いピークの振動数に設定するか、

その製品で気になる(問題となる)振動数に近いピークの振動数を設定してください。

ただし、このピーク以外の振動に対する減衰値はGEで入力した値からずれてきますので、ご注意ください。。。

たぶん他人に説明する場合は、何に合わせて設定したのかを合理的か理由つけて判断しておく必要があります。


うん?振動数に関係なく全部のピークで減衰の値を設定したいだと。。。

それが直接法では無理ですが、後で説明するモーダル法の過渡応答では可能です。それはまた後ほど。。


これは試験結果から減衰値を計算しているけど、
実際は試験結果がないものをシミュレーションする場合がほとんどではないかって。。。

その回答は次回。


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  1. 2011/06/27(月) 21:55:07|
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NASTRANの過渡応答解析のPARAM,W3(PARAM,W4)の周波数の決め方その3(静解析屋さんのための動解析FEM講座132)

では、試験が行われていないモデルの減衰をどうするかなのですが、

まず似たような試験が行われているのであれば、その減衰値のパラメータ(GEやW3,W4)を採用した方がいいです。

次に、強制荷重が正弦波など決まった振動数で振動する場合はその強制荷重の(円)振動数をW3、W4にするとよいです。
(ただし、特に振動初期は自由振動の影響が出て合わなくなりますので、場合によっては調整が必要です)


もしまったく参照できるようなデータがなければ、とりあえずの値として

1次固有(円)振動数

の値を入れておきましょう。

理由は、前回お話した最大ピーク値が出る振動数

ds229

は、たいてい1次固有値である場合が多いからです。


以前例で示したとおり、自由振動は最も振動しやすい形状である1次固有モードで振動する場合が多いです。

自由振動ではなく、荷重がつねにかかっているランダムな強制振動の状態でも、最も振動しやすい振動数が基本的に変わるわけではないです。

よってピークは1次固有振動数近くに出る可能性が高いのは合理的な判断だと思いますので1次固有(円)振動数をW3、W4に設定しておくことも合理的です。

また、もし振動モードの形状が、曲げだとかねじりとかまで分かっているのであれば、その振動モードの形状で1次の固有(円)振動数を与えればよいです。


どちらにしろ、実験がない場合はW3,W4以前に対数減衰率や減衰比も予測値を入れることになるので、

減衰に関連してくる結果の精度は大きな期待できないです。

過去の試験結果や教科書、論文などにでている減衰に関する値を参照に予測値として取り扱うべきで、

最終的には試験での検証が必要でしょう。。。


どんな振動状態でも再現できる減衰値を入力するのは、実は至難の業なのです。

これがFEMの理論的な元帥の再現方法から考えても、やはりそういう結論なので仕方がありません。。。

とりあえず仮の値を入れて、試験結果を見ながらあわせこむ、そうやってノウハウをためてシミュレーションのみでも
精度よく予測できるようにする、という地道な方法が王道のようですね(^^;)

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  1. 2011/06/28(火) 22:38:08|
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FEMAPからのNastranの固有値解析をやってみる(静解析屋さんのための動解析FEM講座132)

では、手元に

FEMAP with NX Nastran

の300節点試用版があるので、

これを使ってNastranの減衰の入力方法と影響について調べてみましょう。。。


例題は例によって片もち梁です(^^;)。。。

まずは形状を作りメッシュを作成します。

具体的なやり方は。。。自分で頑張ってみてください。。。
(そこまでやりだすと先に進まないので、すいません)
あとで気が向いたら、入力データを公開します。

ds230

要素はHEXA8(1次要素)を使用しています。

300節点の制限があるので、3次元モデルはどうしてもメッシュは粗めになってしまいますが、

ここはNastranの要素テクノロジーを信じて粗いメッシュでもある程度精度が出るとしておきましょう。。。

片側を完全拘束します。(厳密には片もち梁ではなくないですが、面倒なので。。)

物性値は以下の通り。まず固有値解析を行うので減衰は無しにしましょう。
ds231

解析セットで固有値を選んで、

ds232

固有値は10個抽出します。

ds233

固有値計算してみると1次モードは419Hzとなるようです。

ds234
クリックすると大きくなります。

過渡応答解析の前に固有値解析を行うことは、

モデルチェック



固有値からタイムステップ間隔の参考値を得る
(詳細は後で説明)

ことなどに使えますので、行う方が多いですね。


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  1. 2011/06/29(水) 19:14:58|
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FEMAPからのNastranの直接過渡応答解析をやってみる(静解析屋さんのための動解析FEM講座133)

では、今度は直接過渡応答をやってみます。

まずは減衰無しで行ってみましょう。

荷重は固定端の反対側にかけます。

ds235

時間荷重グラフは以下の通りです。

三角波パルスを1回だけかけます。

ds236

直接法過渡解析を選択して

ds237

タイプステップとステップ数、出力間隔を入力します。

1次固有値が約400Hzなので、予想される周期が約0.0025secです。

1周期を最低8ステップに分割すれば、まずまずの精度が出ると思いますが、

今回は滑らかな時間-応答グラフを出すためにタイムステップ幅0.0001secとしました。

ds239

減衰はとりあえず入力しません。。。

(後で入力したものと比較します)

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