静解析CAE屋さんのための動解析FEM(有限要素法)入門

CAEで静解析応力解析しかやったことがない方のための動解析講座。怪しいところ有ったらご連絡ください(^^;)

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CalculiXの固有値解析の入力データ (静解析屋さんのための動解析FEM講座75)

では、以下がCalculiX固有値解析の入力データです。


*INCLUDE,INPUT=all.msh
*INCLUDE,INPUT=fix.nam
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*STEP
*FREQUENCY
10
*NODE FILE,NSET=NALL
U
*END STEP


all.mshとfix.nam以前の過渡応答解析のデータと同じです。

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-date-20101229.html


入力データをみると、

*STEP

までは過渡応答と全く同じです。

*STEP以降は

*FREQUENCY
10

と出力設定の

*NODE FILE,NSET=NALL
U

があるだけで、過渡応答に比べて非常に簡単な設定です。

設定の意味は後回しにして、計算してどのような結果が出てくるかをまず見てみます。

計算は静解析や過渡解析と同じです。

上記の入力データを

freq01.inp

という名前で保存した場合は、ccxコマンドを使って

ccx freq01

で計算可能です。。。

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  1. 2011/04/03(日) 21:37:00|
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CalculiXの固有値解析の結果 (静解析屋さんのための動解析FEM講座76)

では結果を見てみます。

結果を見てみますといっても、今回はcgxのグラフィカルな結果を見る前に、datファイルの中を見てみます。

datファイル(freq01.dat)の中をあけてみると、以下の内容になっていると思います。


E I G E N V A L U E O U T P U T

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY
(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

1 0.1738736E+09 0.1318611E+05 0.2098635E+04
2 0.1738736E+09 0.1318611E+05 0.2098635E+04
3 0.6674963E+10 0.8170044E+05 0.1300303E+05
4 0.6674963E+10 0.8170044E+05 0.1300303E+05
5 0.5052031E+11 0.2247672E+06 0.3577282E+05
6 0.5052031E+11 0.2247672E+06 0.3577282E+05
7 0.5482140E+11 0.2341397E+06 0.3726449E+05
8 0.1666938E+12 0.4082815E+06 0.6498002E+05
9 0.1847698E+12 0.4298486E+06 0.6841252E+05
10 0.1847698E+12 0.4298486E+06 0.6841252E+05

実は、この数値の結果が非常に重要です!

これは固有振動数の値のリストなのです。

詳細については次回・・・


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  1. 2011/04/04(月) 22:11:46|
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CalculiXの固有値解析の結果(固有振動数) (静解析屋さんのための動解析FEM講座77)

datファイルの中身ですが、まず

MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY

とあり、さらにFREQUENCYは

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME)

に分かれています。

まず、一番右側の値、FREQUENCYの(CYCLES/TIME)の結果から説明します。

これが固有振動数(固有周波数)の値です。


1つ目の値は

0.2098635E+04=2098.635

となっていますが、これは固有振動数が

2098.635(Hz)

であることをあらわしています。

固有周期は、固有振動数の逆数なので

1÷2098.635=0.000477[s]

となります。

これは、以前確認した

自由振動の周期



共振が出現する加振の周期

であった約0.0005[s]にほぼ一致しています!

つまり、固有値解析を行えば、

過渡応答解析を行わなくても固有振動数つまり共振周波数を知ることができます。


ところで、2つ目以降の値は何なのかということについては、また後ほど説明します・・・

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  1. 2011/04/05(火) 22:28:54|
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CalculiXの固有値解析の結果(固有角振動数) (静解析屋さんのための動解析FEM講座78)

では、次に

FREQUENCYの(RAD/TIME)ですが、これは

固有角振動数

をあらわしています。

といっても、固有振動数に

2π=2*3.1415=6.283

をかけているだけです。。。

実際、結果の1つ目の固有振動数で計算してみると

2098.635×6.283=13186[rad/s]

でdatファイルの値と同じ値になります。

ではなぜ固有角振動数なるものをわざわざ出力するかというと、

振動の理論計算では固有角振動数で取り扱ったほうが、数式がすっきりするからです。。。

よく、振動の教科書には

ω

という文字が出てきますが、それが角振動数を表す文字です。

この部分を振動数で表すには

2πf

とかけばよいのですが、ωだと1文字ですみます、

ということです。。。


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  1. 2011/04/07(木) 22:50:12|
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CalculiXの固有値解析の結果(固有値) (静解析屋さんのための動解析FEM講座79)

では最後に一番左側の結果、

EIGENVALUE

とは何ぞや、ということなのですが、

これはいわゆる

固有値

の値になります。


この値は物理的な意味より数学的な意味を持つ値なので、

設計開発する上では特に気にする必要はないと思います。


ちなみにこの固有値の値の平方根が固有角振動数の値となっています。

実際、結果の1つ目の固有振動数で計算してみると

SQRT(173873600)=13186

となっています。


数学的にどんな意味を持つかということは、固有値解析がどんな計算をしているのかと関係があるのですが、

これは後ほど簡単に触れたいとおもっています。

(詳しく知りたい方は振動の教科書と数学(代数)の教科書を使って勉強してみましょう(^^;))


計算はもちろん固有値→固有角振動数→固有振動数の順に計算しています。

振動現象を解析する上で物理的に重要なのは固有振動数で、この値を真っ先にチェックすべきでしょう。。。



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CalculiXの固有値解析結果をcgxでみてみる (静解析屋さんのための動解析FEM講座80)

今回は計算した固有値解析の結果をcgxで見てみます。

コマンドから

cgx -v freq01.frd

メニューエリアで左クリックして、Datasetsをクリックすると、

以下のように固有振動数のリストが出てきます。

ds130
クリックすると大きくなります

以下のようにallを選択して、変位コンター図を見てみると

ds131
クリックすると大きくなります

以下のように”美しい”コンター図が出てきます。

ds132
クリックすると大きくなります

これが結果が意味するところを次回以降見ていきます。


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  1. 2011/04/10(日) 19:45:12|
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CalculiXの固有値解析結果をcgxでみてみるその2 (静解析屋さんのための動解析FEM講座81)

実際どのような変形をしているかがわかりにくいので、

変形図を出してみます。

変位は以下のように

Viewing→Toggle Add Displacement

ds133
クリックすると大きくなります。

とすれば、変形した状態が表示されます。

行ってみると、

ds134
クリックすると大きくなります

見る角度によっては上図のようにならないかもしれません。

いずれにせよ何か変です。。。。


左側にあるコンター図のスケール(何mm~何mmは何色と表示されてるもの)をよーくみてみると、

最大値が

5.07E3

となっています!

はりの長さが20しかないので、ものすごく変形量が大きいということになってしまうのですが、

この原因は一度棚に上げて(^^;)

変形のスケーリングを変更して、まともな表示ができないか探ってみます。

表示を実際の変形の

0.0015倍

にすると、ちょうどいいです。

コマンドから

scal d 0.0015

とすると、ちょうど良くなります。


この変形、

はりの曲げ変形

と同じ形をしています。

これは一体どういう意味なのでしょうか。。。(次回へ続く)

ds135
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固有モード形状とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座82)

実は固有値解析の変位は、静解析や過渡応答解析とは異なり、

力をかけたときの変形量をあらわしているわけではありません。


相当する固有振動数[今回は2099Hz]で共振させたときの、振動しやすい「形」をあらわしています。



つまり、この方もち梁は、曲げ変形の形状に振動しやすいのです。

実際自由振動のときや、共振させた時のはりの変形は

曲げ変形の形状でした。


この振動しやすい形状を

固有モード形状

と呼ぶことがあります。


また、このときの全変位の結果をベクトルであらわしたとき、そのベクトルを

固有ベクトル

と呼びます。


もう少し、前回見た形状を見てみますと、

ds136
+x方向から見た図 クリックすると大きくなります

ds137
+y方向から見た図 クリックすると大きくなります

x方向への曲げ変形と言うことが分かります。

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2つめのモードの結果(静解析屋さんのための動解析FEM講座83)

それでは2つ目のモードの結果を見てみます。

ds130
クリックすると大きくなります。

上図の画面で

2 DISP 2098.60098

を選択して、再び

Entity → allを選択します

ds131

+x方向からと
ds138
クリックすると大きくなります

+y方向から
ds139
クリックすると大きくなります


1つめの結果と比べると、x方向とy方向の変形図が逆になっています。

つまりy方向に曲がっていると言うことです。

また、お気づきの通り、1番目の固有振動数とと2番目の固有振動数は

同じ値(2098.6Hz)

です。

片持ち梁の曲げ静解析を考えると、同じ荷重をx方向に負荷したときも、y方向に負荷したときも変位は同じになります。

つまりどちらも曲がりやすさは同じと言うことです。

振動も同じで、曲げ振動モードはどちらの方向も同じ振動のしやすさになっているということがいえます。

(このように同じ振動数で結果が2つあることを固有値が重解になっていると言うことがあります)

これがもし、長方形断面であれば、曲がりやすさや振動のしやすさはx方向とy方向で異なってきますので、固有振動数は同じにはなりません。

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  1. 2011/04/13(水) 22:06:23|
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3つめと4つめのモードの結果(静解析屋さんのための動解析FEM講座84)

次に3つ目のモードの結果を見てみます。

固有振動数は、

13003Hz

ですね。

ds141
クリックすると大きくなります。

何とも微妙なうねり方をしていますが、

これは片持ち梁の2次曲げ振動モードと呼ばれます。

(これに対して前回紹介したモードは片持ち梁の1次曲げモードと呼ばれます)

このように曲げモードの中でも実は複数の曲がりやすい形があるのです。

ただし、この曲げモードも振動しやすい形状ではあるのですが、

見ての通り形状が少し複雑なので、実際の振動では1次モードに比べて現れにくいです。。。


4つ目のモードは、3つ目のモードと固有振度数が同じです。

と言うことは、これのy方向へのモードだと言うことは容易に想像つくと思います。

ds142
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  1. 2011/04/14(木) 22:49:33|
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5つめと6つめのモードの結果とアニメーション(静解析屋さんのための動解析FEM講座85)

まずは5つ目のモードの結果です。

固有振動数は、

35773Hz

です。

振動モードは

ds145
クリックすると大きくなります。

3つ目、4つ目のモードに比べ、振動の節が一つ増えていることがわかります。


今回は振動モードをアニメーションで見てみましょう。

一度cgxを終わらせて、もう一度freq01.frdを読み込んで立ち上げてください。
(その方がうまくいきます。。。)


Datasetsから

5 DISP 35773

を選択して

Animate→Start

を選択すると、アニメーションが見れます。



終わる時は、

Viewing→Show all elements with light

で最初の状態にリセットできます


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  1. 2011/04/17(日) 17:50:41|
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片もちはりの曲げモードのアニメーション(静解析屋さんのための動解析FEM講座86)

ついでに1つ目のモードと、3つ目のモードもアニメーションにしてみました。

5つ目のモードと比較してください。

1つめのモード


3つ目のモード


5つ目のモード


振動の節(振動しない点)が一つずつ増えているのがわかると思います。

これらは、すべてはりの曲げ変形なのでまとめて

曲げモード

と言います。


ところで、構造物の固有振動数を振動数が低い順に

x次の振動モード

と呼ぶことがあります。

今回のシミュレーションの場合

1次の振動モード 2099Hz
2次の振動モード 2099Hz
3次の振動モード 13003Hz
4次の振動モード 13003Hz
5次の振動モード 35773Hz
6次の振動モード 35773Hz



といいます。ここでが全体の振動モードと呼びましょう。



その一方、曲げモードのみを単独で数える言い方もあります

振動周波数が小さい順に、重解は無視(無視しない場合もある)して、

1次の曲げモード 2099Hz
2次の曲げモード 13003Hz
3次の曲げモード 35773Hz



となります。


つまり3次の曲げモードは、全体の5次と6次のモードになるわけです。

モード形状を出しながら話をするのであれば混乱することはないと思いますが、

固有振動数だけで話をするときは注意が必要です。

解析屋さんと試験屋さんで解釈が違ったりするかもしれませんので。。


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  1. 2011/04/18(月) 19:30:44|
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固有振動数の理論解と比較してみる(静解析屋さんのための動解析FEM講座87)

検証可能なシミュレーションは検証してみることが重要です。。。

今回の計算は理論解と比較してみましょう。

片もちはりの固有振動解析の解はネットに公開されています。(拓殖大学の資料)

http://www.ms.takushoku-u.ac.jp/Labs/suzuki/Text/012.pdf

2ページ目の3枚目のスライドにありますが、

1次の曲げモード 
ds146

2次の曲げモード
ds147

3次の曲げモード
ds148

lははりの長さ
Eはヤング率
Iは断面2次モーメント。今回のような正方形断面の場合は、((一辺)^4)/12
A断面積
ρ質量密度

となります。。

単位系をN-mm-tonで計算すると
l=20
E=210000
I=1/12
A=1
ρ=7.8E-9

になります。
各曲げモードを計算してみると、

p1=13165
p2=82508
p3=231049

となります。

これは角振動数なので、振動数に変換(2πで割るだけですが)すると

f1=2095 (解析値2099)
f2=13132 (解析値13003)
f3=36774 (解析値35773)

理論値と解析結果はほぼ一致しています。。。

多少のずれは境界条件が厳密には正しくない、メッシュ分割、数値誤差が原因と思われますが、

許容の範囲内でしょう。


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7番目のモードはねじりモード(静解析屋さんのための動解析FEM講座88)

振動モードの確認を続けてみましょう。

7番目のモードです。

ds144
クリックすると大きくなります。

少し分かりにくいですね。

アニメーションでみてみましょう。



はりがねじれながら、膨らんでいる感じに見えます。

これははりのねじり変形のモードです。

ds149
クリックすると大きくなります

はりを軸方向にひねった変形の振動になります。


捩り振動のイメージとしては、おもりのついたゴムを何回転かねじって手を離すと

回転してねじりが解けますが、それでとまらずに逆方向にねじれてしまいます。

それがまた解けて、最初ねじった方向にねじれてを繰り返すような振動です。


曲げモードとは異なりますが、これも振動モード変形の形態の一つです。

ところで、アニメーションを見るとねじれると同時に、

はりが膨れてしまっていますが、これも理由があります。。。

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ねじり振動モードが膨張するわけ(静解析屋さんのための動解析FEM講座89)

ソリッド要素でねじりモードを表示すると、

CalculiXに限らず多くのソルバー(Nastranもたしかそう)

で構造物が膨張する現象が見られます。


これは微小変形を仮定して計算しているため、

回転変位≒接線方向の変位

としてしまっていることに起因しています。

下図の断面で説明すると、実際は断面は回転するので膨らむことはないのですが

解析では接線方向に変形してしまうため、断面積が増えてしまい、膨らんでしまいます。

ds150
クリックすると大きくなります。


本当は回転して見せたいのですが、計算の都合上そうは見せられないということです。

もちろん実際のねじり振動モードは膨らみません。

解析でねじりモードで膨らむ絵が出てきたら頭の中で膨らまないように変換しましょう。。。


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8番目のモード 引張り圧縮モード(静解析屋さんのための動解析FEM講座90)

8番目のモードを見てみます。

まずコンター図です。

ds151

単純に伸びているだけに見えます。

アニメーションを見てみると



伸びたり縮んだりする振動です。

これを引張り圧縮モードといいます。

この振動のイメージは、バネの伸び縮みの振動です。(と言うか同じ)


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  1. 2011/04/24(日) 18:59:28|
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CalculiXの固有値解析入力データ(静解析屋さんのための動解析FEM講座91)

前回まで固有モード形状を見てきました。

今回はそれらを計算する入力ファイルを改めてみて見ましょう。

この回で既出ですが、以下のような入力データでした。

*INCLUDE,INPUT=all.msh
*INCLUDE,INPUT=fix.nam
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*STEP
*FREQUENCY
10
*NODE FILE,NSET=NALL
U
*END STEP


前にも紹介しましたが、

*STEP

までは時刻歴(過渡)動解析と同じです、データです


また、

*NODE FILE,NSET=NALL

以降は出力設定で静解析と同じと考えてよいです。


残ったのは

*FREQUENCY
10

だけですが、これは

*FREQUENCY←固有値解析の宣言

10←10個の固有値を計算します

という意味です。

これだけで、計算できますので、入力データはある意味非常に簡単です。


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  1. 2011/04/25(月) 22:26:44|
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固有値解析には条件は要らない?(静解析屋さんのための動解析FEM講座92)

前回、固有値解析の入力データを示しました。


一番の特徴は

「荷重条件がない」

ことです。


なぜ荷重条件がないのでしょうか。。。


前に、自由振動のシミュレーションをしましたが、

自由振動している時は、

-一定の周期(固有周期=固有振動数の逆数)で振動する

という特徴がありました。


一方、固有値解析というのは何を解いて求めているかを考えてみると

-固有振動数または自由振動しているときの周期

-その自由振動している時の振動している「形」

です。


このうち、まず、自由振動しているときの周期を出すのに荷重条件が必要かを考えます。

自由振動の周期は荷重に依存しない、というのは以前の解析で示しました。

つまり、固有周期や固有振動数は荷重条件に関係しないということです。

よって、固有周期や固有振動数を計算するのに、

荷重条件は不要、
(どんな荷重条件をかけても答えが同じにならなければならないので)

ということになります。


次回は、振動している「形」を出すのに荷重条件は必要か、を考えて見ます。


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  1. 2011/04/26(火) 20:27:45|
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固有モード形状の変位量の絶対値に意味なし(静解析屋さんのための動解析FEM講座93)

今回は固有値解析に荷重が関係ないことと、

変位の結果をどう見るかの話です。。。


固有モード形状の結果は変位結果のように見えますか、

静解析の変位結果とは意味が異なります。

固有値解析の変位結果は、

相対的な値に意味はあるが

絶対的な値に意味はない


ということです。

例えば、左側が固定されているはりの固有値解析の変位図が下図のように出たとします。
ds152
数字は、その節点の変位量、上側の節点のみ変位量を示していますが、

下側の節点も同じ量変位したとしましょう。


固有値解析では、この変位結果と以下の図

ds153

の変位結果、さらに以下の図の変位結果

ds154

もすべて同等の結果です。


いずれの結果も、右端の節点変位が真ん中の節点変位の3倍になっています。

つまり節点の移動したベクトルの方向は同じで、移動量は相対的には同じ(右端が真ん中の3倍)になっているということです。


さらに言い換えると、

「変位量が3とか6とか9である」

ということは、固有値解析であれば意味がなく、

「右側の節点の移動量が真ん中の移動量より3倍になっている」

ということが意味がある、ということです。。。


応力もその絶対値に意味がなくなります。。。

変位量の絶対量に意味がないので、荷重の大きさがどうこうという意味もなくなります。

よって、固有モード形状の計算に荷重は不必要だということになります。

それでは、この固有モード形状(振動変形しやすい形状)は何で決まるのかというと、


-質量(質量密度)

-剛性

-固定条件

のみで決まるということになります。。。


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  1. 2011/04/27(水) 21:40:59|
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荷重入力がある固有値解析は特別な場合です(静解析屋さんのための動解析FEM講座95)

前回まで固有値解析には荷重は不要、という話をしてきましたが、

荷重を入力する固有値解析も存在します。。。


ただし、これは相当特別な場合で、初心者が手を出すものではありません(^^;)。


参考までに話をしますと、これはあらかじめ応力がかかっている状態で自由振動させると、

固有振動数が応力がない場合に比べて変化する、ことを解析するのに使用します。

ギターの弦は張力を大きくすると音程(=固有振動数)が変わります。その現象です...

CalculiXでも計算できるようなことが書いてありますが、試していません。。。

NX.Nastranの計算例が(株)構造計画研究所さんのWEBにありますので、興味のある方はご参考ください。

http://www.sbd.jp/product/pdf/postfile/FwNXN_EigenSolution.pdf


ちなみに、通常の固有値解析では減衰も関係ないのですが、

減衰を考慮した固有値解析もあります。

これもかなり特殊な固有値解析なので、初心者が出くわすことはまずないでしょう。

これは複素数の固有値解析になり、振動系の安定性評価やブレーキ鳴きの解析などに用いられます。
(管理人もあまりやったことはありません。。。)


世の中で行われている99%以上の固有値解析は荷重や減衰はありません。

合わないときでも、よほど特殊な場合を除いて荷重や減衰は考えない方が良いでしょう。。。

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